生成函式即為母函式
設$$是任一數列，則形式冪級數$a(t)=\sum_^a_it^i$叫做數列$$的常生成函式
引理 1
以$m_k (k= 1, 2, ⋯, n)$表示不定方程 $x_1+ x_2+ x_3+ ⋯+ x_n= r$ 中的未知數 $x_k$ 的可取值所成之集
以 $a_r$ 表示不定方程 $x_1+ x_2+ x_3+ ⋯+ x_n= r$ 滿足條件 $x_k∈m_k (k= 1, 2, ⋯, n)$的解的個數
則 $a_r$ 是$a (t) = \prod_^n \sum _t^p$展開式中 $t^r$ 的係數
引理 2
設m 是任一有理數, 則對形式冪級數$a (t) = 1+ at(a≠0)$有 $(1+ at)^m =\sum_^\dbinoma^it^i$
特別地有$(1-t)^=\sum_^\dbinomt^i$
關於上式的證明：
$n=1$時換元$k=x^$，右邊取一下數列的極限即可得到左邊。
然後對左右分別求n階導數即得證
或者直接泰勒展開大概也可以
定理1
不定方程$x_1+x_2+x_3+...+x_n=r$的非負整數解的個數為$\dbinom$
證明：建構函式$a(t)=(t^0+t^1+...)(t^0+t^1+...)...(t^0+t^1+...)$，顯然解的個數為$t_r$的係數
$=(t^0+t^1+t^2+...)^n$
設$p=t^0+t^1+t^2+...$，有$p=1+pt$，那麼$p=\frac$
$p^n=(t^0+t^1+t^2+...)^n=(\frac^n)=\sum_^\dbinomt^i$
那麼$t_r$的係數即為$\dbinom=\dbinom$
定理2
不定方程$x_1+x_2+x_3+...+x_n=r$的正整數解的個數為$\dbinom$
證明：建構函式$a(t)=(t^1+t^2+...)^n$，顯然解的個數為$t_r$的係數
設$p=t^1+t^2+...$，有$p=t+tp$，那麼$p=\frac$
$p^n=(t^1+t^2+...)^n=t^n\sum_^\dbinomt^i$
其中$t^r$的係數為$\dbinom=\dbinom$
定理3
不定方程$x_1+x_2+x_3+...+x_n=r$滿足條件$x_i>=k_i(k_i∈n^*,i=1,2,3...)$的非負整數解的個數為$\dbinom^k_i-1}$
證明：我們令$y_i=x_i-k_i$，問題轉化為了定理1，套用定理1的公式即可解決
定理4
不定方程$x_1+x_2+x_3+...+x_n=r$滿足條件$x_i<=k(i=1,2,3...)$的非負整數解的個數為$\dbinom-\sum_^ (-1)^j \dbinom \dbinom$
證明：在定理3的基礎上容斥一下即可，即$ans=$總方案數-乙個不滿足條件其他任意+兩個不滿足條件其他任意...當然這個也可以靠生成函式，$a(t)=(t^0+t^1+...t^k)^n$，方案數就是$t^r$的係數
例題1：
不定方程$x_1+x_2+x_3+...+x_n=r$滿足條件$x_i<=k$且$x_1+x_n<=k$的非負整數解的個數
構造生成函式$a(t)=(t^0+t^1+...+t^k)^((t^0+t^1+...+t^k)^2\mod t^)$，方案數即為$t^r$的係數
進一步化簡得到$a(t)=(\sum_^t_i)^(\sum_^(i+1)x_i)$
生成函式學習筆記
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