1.設\(a,b,c>0\)，\(abc=1\)，求證：\(a^2+b^2+c^2\leqslant a^3+b^3+c^3\)。
解：不妨設\(a\geqslant b\geqslant c\)，由切比雪夫不等式，有\(a^3+b^3+c^3\geqslant \frac\geqslant a^2+b^2+c^2\)。
2.設\(a,b,c>0\)，\(a^2+b^2+c^2=1\)，求證：\(\frac+\frac+\frac\geqslant \frac\)。
解：\(\because\sum \frac=\sum \frac\\\because[a(1-a^2)]^2=\frac\cdot 2a^2\cdot (1-a^2)\cdot (1-a^2)\leqslant \frac\cdot (\frac)^3=\frac\)
\(\therefore a(1-a^2)\leqslant \frac}\)
同理，\(b(1-b^2)\leqslant \frac},c(1-c^2)\leqslant \frac}\)
\(\therefore lhs\geqslant \sum \frac}}=\frac}\)
3.設\(\alpha,\beta,\gamma\in(0,\frac)\)，且\(\alpha+\beta+\gamma=\frac\)，求證：\(tan^2\alpha+tan^2\beta+tan^2\gamma<2\)。
解：考慮區域性不等式\(tan^2 x<\fracx\)，其中\(x\in(0,\frac)\)，求導之後易得本式正確性。
\(\therefore tan^2\alpha<\frac\alpha,tan^2\beta<\frac\beta,tan^2\gamma<\frac\gamma\)
三式相加，即可得\(tan^2\alpha+tan^2\beta+tan^2\gamma<2\)
常用不等式集錦
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