知識點 8 4 拓撲排序與關鍵路徑

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前言

想起當年參加 ctsc 時 dp 王 zed 用拓撲序 dp 過了一道題直接一飛沖天，而一旁的蒟蒻拿了個 10 分 gg。

子目錄列表

1、dag 與 aov 網

2、拓撲排序

3、aoe 網與關鍵路徑

8.4 拓撲排序與關鍵路徑

1、dag 與 aov 網

乙個無環的有向圖被稱作有向無環圖（dag，directed acycline graph）。它不同於有向樹，dag 將有向邊改成無向邊後可以出現環，而有向樹不行。

dag 應用廣泛，除了在動態規劃中提到了 4.4 樹形 / dag / 數字 dp ，它往往是描述一項工程或系統進行過程的有效工具。所有的大型工程（project）都可以被劃分為若干個子工程，這些子工程被稱作活動（activity）。在整個工程中，有些活動必須在其他相關活動完成後才能開始，也就是說，乙個活動的開始是以其所有前序活動的完工為先決條件。部分活動沒有先決條件，則可以隨時開始。人們關心這個工程是否能夠順利進行，如果能，如何安排工程完成的先後順序使得所花費時間最短，而 dag 正是形象反映出整個工程的活動之間的約束關係的最佳選擇。

以頂點表示活動，有向邊表示活動之間的約束關係，這樣的 dag 被稱作頂點活動網（aov 網，activity on vertex network）。

2、拓撲排序

① 定義

根據上述對 aov 網的定義，我們先來舉個例子。

傑克對計算機很感興趣，進入大學後他如願以償地進修計科專業。學校發給他乙份培養方案，上面寫滿了各種課程：

課程代號課程名稱先修課程

c1 高等數學無

c2 c 程式設計無

c3 離散數學 c1, c2

c4 資料結構 c3, c5

c5 c++ 程式設計 c2

c6 編譯技術 c4, c5

c7 作業系統 c4, c9

c8 大學物理 c1

c9 計算機組成 c8

傑克表示頭都暈了，他想理清楚這些課程的關係。這時候，使用一張 aov 網來展示：

一下子就變得清晰起來 —— 他需要先上 c1 高等數學和 c2 c語言設計兩門課程，而後 c3 離散數學，c5 c++程式設計，c8 大學物理就可以上了；以此類推，最後上 c7 作業系統，c6 編譯技術。

aov 網為什麼是 dag 圖？如果出現了環，對於課程的選擇則必然出現問題：假設 c1 是 c8 的前序課程，而 c8 又是 c1 的前序課程，那麼兩門課上課的先後順序則無法確定，導致整個課程學習無法完成。這種情況如果出現在工程中，則稱為死鎖或死迴圈，是必須要避免的。

根據 aov 網求得的這樣的序列，我們稱之為拓撲序（topological order）。構造拓撲序的這個過程，稱之為拓撲排序（topological sort）。

② 性質

注意到，比如剛開學時，傑克可以選擇先上 c1 再上 c2，反之同樣可以；學完了 c1 和 c2，傑克可以先上 c3 也可以先上 c8……也就是說，拓撲序列並不具有唯一性。

通過歸納證明，容易得到如下推理：

圖能進行拓撲排序的充分必要條件是該圖為 dag。兩者為等價關係。判定乙個圖是否為 dag，檢驗它能否進行拓撲排序即可。

③ kahn 演算法

kahn 演算法用於實現拓撲排序。預處理出所有結點的入度，將入度為 0 的結點加入集合 s，每次從 s 中取出任意乙個頂點 u 並儲存到陣列 ans，遍歷以 u 為起點的所有邊，並將對應終點的入度減 1，如果減到了 0，則加入集合 s，不斷重複，直到所有頂點輸出完畢。ans 陣列最終的結果即拓撲序。

kahn 演算法使用佇列實現。

④ 例題與**

aov 網在生活中還是很常見的，課程之間的關係，元件之間的依賴關係，工程的先後順序等等。下面還給出一道例題：

【例題】【士兵排隊】

有 n 名士兵（1 <= n <= 100），編號依次為 1, 2, 3, ..., n。進行佇列訓練時，指揮官要把一些士兵從高到矮依次排成一行，但現在指揮官不能直接獲得每個士兵的身高資訊，只能獲得「p1 比 p2 高」這樣的比較結果（p1, p2 ∈ ，記為 p1 > p2），如「a > b」表示 a 比 b 高。編一程式，根據所得到的比較結果求出符合條件的排隊方案。注：比較結果中沒有涉及到的士兵不參加排隊。

例如，設有3個士兵 1, 2, 3，給出關係 (1, 2), (2, 3)。其中 (1, 2) 表示士兵 1 高於 2，當上面的關係給出之後，可以將他們排成一隊：123。

輸入：第一行兩個正整數 n, m，接下來 m 行中每行兩個整數 x, y，表示士兵 x 比士兵 y 高。

輸出：從高到矮依次輸出每乙個士兵的編號，如果沒有答案輸出 -1。

根據身高關係直接構建 aov 網，使用 kahn 演算法求出拓撲序，即最終答案。

**：

1 #include 2
using
namespace
std;34
#define maxn 105
5#define maxm 20567
intn, m, u, v, a[maxn], tot, h[maxn], q[maxn];89
class
edge  e[maxm];
1314
void add(int u, int
v) , h[u] =tot;
16     a[v]++;17}
1819
void
kahn() 29}
3031
intmain()

3、aoe 網與關鍵路徑① aoe 網與 aov 網相對應的是aoe 網（activity on edge network），即邊表示活動的網。aoe 網是賦權 dag 圖，頂點表示事件（event），弧表示活動，權表示活動持續的時間。通常，aoe 網是用來估算工程的完成時間。

與 aov 網不同的是，aoe 網必然只有乙個入度為 0 的點（起點）和乙個出度為 0 的點（終點）。從起點出發，各個活動可以並行進行，所以完成工程的最短時間是從起點到終點的最長路徑的長度。這條最長的路徑稱之為關鍵路徑。

② 關鍵路徑

假設開始點為 u，從 u 到結點 vi 的最長路徑長度叫做事件 vi 的最早發生時間。這個時間決定了所有以事件 vi 為標誌而可以開始進行的活動的最早發生時間。對於活動 ai，其最早發生時間用ei表示。在不推遲整個工程完成進度的前提，即不出現沒有活動正在進行的情況，活動 ai 的最遲發生時間用li表示。li 和 ei 的差值為活動 ai 的時間餘量。時間餘量為 0 的活動被稱作關鍵活動。關鍵路徑上的所有活動均為關鍵活動。

也就是說，非關鍵活動的進度的提前與延後（在 [ei, li] 內），其實對整個工程的進度是沒有影響的。所以，分析這種工程的關鍵在於找到關鍵活動，即找到 ei = li 的 ai，以提高工效，縮短工期。

③ 實現

在 kahn 演算法求出拓撲序的基礎上，增加乙個拓撲序結點棧，按照拓撲序搜尋各個活動，及計算相應事件的最早 / 最遲開始時間。具體過程暫略。

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拓撲排序與關鍵路徑

拓撲排序與關鍵路徑

拓撲排序，關鍵路徑

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