拓撲排序，關鍵路徑

拓撲排序

對於乙個流程圖，可以用頂點表示活動，弧表示活動間的優先關係，這樣所表示的有向圖稱為頂點表示活動的網，即aov網。在網中，如果頂點i到頂點j有一條有向路徑，或者（i，j）是一條弧，則i是j的前驅，j是i的後繼。aov網中不應該出現環。

拓撲排序的思想很簡單，（1）在有向圖中選乙個沒有前驅的頂點輸出；（2）從途中刪除該頂點和所有以它為尾的弧。重複上述兩個步驟，直到全部頂點輸出，或者圖中不存在無前驅的頂點時，這說明圖有環。

有拓撲排序演算法可以看出，拓撲序列不唯一。

bool topologicalsort(algraph *g)
}if(count == g -> vexnum)
return true;
else
return false;
}

關鍵路徑

與aov網不同，用邊表示活動的網稱為aoe網。aoe網是乙個帶權的有向無環圖，用來估算工程完成的時間。由於整個工程只有乙個開始點和乙個完成點，所以網中只有乙個入度為0的點（源點）和乙個出度為0的點（匯點）。aoe網要研究的問題是完成整個工程最少需要多少時間，那些活動是影響工程的關鍵活動？

aoe網中的某些活動是可以並行的，所以完成工程的最短時間是從開始點到完成點的最長路徑的長度，成為關鍵路徑。用e（i）表示活動ai的最早開始時間，l（i）表示ai的最遲開始時間（在不影響整個工程的時間前提下），l（i）- e（i）表示活動ai的時間餘量，l（i）= e（i）的活動稱為關鍵活動，顯然關鍵路徑上的活動都是關鍵活動。演算法如下：

輸入e條弧，建立aoe網，可以用鄰接表。

從源點v0出發，另ve【0] = 0，按拓撲有序求其餘各頂點的最早發生時間ve[ i ]，如果拓撲排序中序列頂點數小於網中頂點數，說明存在環。否則執行3

從匯點vn出發，另vl[n - 1] = ve[n - 1]，按逆拓撲有序求各頂點最遲發生時間vl[ i ]。

根據ve和vl判斷，e( i ) = ve[ i ]， l(i) = vl(k) - w(j，k)，w表示弧權值，如果e(i) = l(i)，說明（j，k）是關鍵活動。 v1

v2v3

v4v5

v6v7

v8v9ve0

6457

7161418vl0

6587

1016

1418

構成兩條關鍵路徑（v1, v2, v5, v7, v9)和（v1, v2, v5, v8, v9）.

拓撲排序，關鍵路徑

拓撲排序關鍵路徑

關鍵路徑（拓撲排序）

拓撲排序和關鍵路徑

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拓撲排序 關鍵路徑

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