關於\(f(x)\)在\((a, b)\)上有原函式\(f(x)\)，要注意以下幾點。在\((a, b)\)上：
\(f(x)\)不一定連續
由原函式定義，\(f'(x)=f(x)\)，因而\(f(x)\)連續
\(f(x)\)不一定是初等函式
\(f(x)\)不一定是初等函式
不定積分的存在性等價於原函式存在。不能有第一類間斷點（由darboux定理決定：閉區間上(連續)函式的導函式無第一類間斷點），不能有無窮間斷點（無窮處不可導），如果有間斷點必然是**間斷。
定積分的存在性對應黎曼可積。
連續函式必然黎曼可積。利用變上限函式微分定理可以說明。
常可以利用「有限個第一類間斷點」判別（考研）。
更一般的，對應不定積分的存在性，黎曼可積性可以相容第一類間斷和有界的**間斷點。從而我們總結出（同濟7版）：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，則\(\int_a^b f(x)\mathrm dx\)必定存在。
原函式存在的函式不一定黎曼可積。例如\(f(x)=\beginx^2\sin^2\frac, &x=0\\0, &x\not=0\end\)的導函式，其原函式是\(f(x)\)，但是由於無界，故不可積。
可積的函式不一定有原函式。因為可積的函式中包含了帶有有限個第一類間斷點的函式。
補充鏈結無定義的點,沒有導數存在(d.n.e.= do not exists)，例如分子為0的點；(無定義)
不連續的點,或稱為離散點,導數不存在；(不連續)
連續點,但是此點為尖尖點,左右兩邊的斜率不一樣,也就是導數不一樣,不可導；(不光滑)
有定義,連續、光滑,但是斜率是無窮大.(導數值為∞)
如果函式\(f(x)\)在區間\([a,b]\)上連續，那麼函式
\[\varphi(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm dt
\]就是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的乙個原函式。
原函式，不定積分，定積分，變限積分的存在與關係
乙個除了可導不對其進行任何額外的要求的函式的導函式，相對於乙個一般的函式而言，有什麼不同嗎？我們可能會想到介值定理和導函式介值定理。施加於導函式上的介值定理和導函式介值定理之所以不等同，一定是因為後者可以獲得更多的資訊。那麼，可以推知，導函式並不是一定連續的。很容易發現，振盪間斷點是唯一可能滿足導函...
第四章 不定積分 part2
分段函式做不定積分 需要確保在分界點上，f x 的原函式是連續的，只要保證了f x 是連續的，f x 積分出來一定是可導並且求導等於f x 找到c1和c2之間的關係，然後統一表示出來 第五章 定積分與反常積分 第一節 定積分 考試概要 定積分概念 定積分性質 變上限積分函式 定積分的計算 二 常考題...
關於不定積分和積分上限函式區別的簡單討論
對df a,b d f a,b df a b 的函式f x f x f x 而言，假定其在區間內可積並且存在不定積分。設其存在乙個原函式 f x f x f x 那麼f x f x f x f x f x f x 由萊布尼茨公式可得 ax f t dt f x f a int a xf t dt f...