分割，取近似，作和，取極限。
極限存在，與分割法無關
空間曲線弧長；加權（線密度）的平面（權連續的）曲線。
總結成一般的點函式形式\(\int_}f(p)\,\mathrm ds=\lim\limits_\sum\limits_^nf(p_i)\delta s_i\)
\(\sum\limits_^n|m_-m_k|\)的上確界
分段光滑曲線（可分為有限段光滑曲線）是可求長的。
(可積性)
物質曲線的質量 空間柱面（將質量的值在新一維展開）
連續函式：在某個包含l的區域上連續這個是定積分的自然延伸。
利用弧微分可以化為一次積分：
以下類似地我們可以給出：
有界分片（有限個數的間斷點）曲面塊上光滑。
由於是等式關係，可以解出第三個元素，化成二重積分
引入：變力沿平面曲線做功。
也可以用一型曲線積分表示
定義（輕概念理論？）
方法的尋找思路：
"功"的對稱性：時常發生力反方向不反或者方向反力不反從而抵消。
\(\overrightharpoon\cdot(\delta x_i, \delta y_i, \delta z_i)\sim \overrightharpoon(x'(t_i), y'(t_i), z'(t_i))\delta _i=(p, q, r)\cdot (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\cdot\,\mathrm ds=(p\cos\alpha+q\cos\beta+r\cos\gamma)\sqrt\delta t_i\)，其中\(s_i\)是有向線段。
看邊界由幾條曲線構成
規定：路徑在左邊的走法是正向
運用newton-leibniz
\[\iint\limits_\frac\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_a^b\mathrm dx\int_^\frac\,\mathrm dy=\int_a^b[p(x, y_2(x))-p(x, y_1(x))]\,\mathrm dx
\]對區域邊界的重積分進行線性加和
\[\oint_p\,\mathrm dx=\int_a^bp(x, y_1(x))\,\mathrm dx+\int_b^ap(x,y_2(x))\,\mathrm dx=-\int_a^b[p(x, y_2(x))-p(x, y_1(x))]\,\mathrm dx
\]對比即得。
為什麼\(\frac\)帶符號？因為p是x的對應係數。而x增大的一條邊的y值較小。想要y由小到大，必須這麼幹。格林公式還給我們指出了提出\(\mathrm dy， \mathrm dx\)後的符號變化原則，即提\(x\)不變號，提\(y\)取負號。
例
\[\frac=\mathrm d\arctan \big(\frac\big)=\mathrm d\theta
\]經由這個式子的分子我們本可以求算封閉曲線圍成的面積，這個式子。但在這個封閉曲線中不包括(0, 0)這個極點（恰巧也是我們這個函式的奇點）的話，由極座標的觀點，我們不難看出，在轉一圈的過程當中，兩次掃過這個封閉曲線圍成的面積。一次極軸長對應正，一次對應負。兩相抵消。
這個結論我們也可以通過格林公式進行驗證。
\[\frac=\frac=\frac\]即
\[\frac-\frac=0
\]若包含了原點的話，繞一圈可以得到\(2\pi\)
關於求面積，只是構造出歸一化結構而已。\(y\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx\)
格林公式的切向向量\((\cos\alpha, \cos\beta)\)作變化
\[(\cos\alpha+i\cos\beta)\cdot (-i)=(\cos\beta-i\cos\alpha)
\]得到法向向量\((\cos\beta, -\cos\alpha)\)，再做類似的數學推導得到散度公式。
\[\oint_\overrightarrow\cdot \overrightarrow\,\mathrm ds=\iint_d\left(\frac+\frac\right)
\,\mathrm d\sigma\]
由此我們利用方向導數的知識，對\(u(x,y)\in c^2(d)\)有
\[\frac}=\left(\frac,\frac\right)\cdot\overrightarrow
\]還可以得到
\[\oint_l \frac}\,\mathrm ds=\iint_d\delta u\,\mathrm d\sigma
\]
其中的一步變化是利用散度的格林公式，對兩維均取偏導且為正，\(\frac+\frac=\delta u\)必要性：由於與積分路徑無關，我們構造只關心起終點的輔助函式
\[u(x,y)=\int_^p\,\mathrm dx+q\,\mathrm dy
\]\[u(x_1+\delta x, y_1)-u(x_1, y_1)\\=\int_^p\,\mathrm dx+q\,\mathrm dy=\int_^p(x,y_1)\,\mathrm dx
\]從而我們得到
\[\frac=p
\]同理可得\(\partial y\)，隨後發現可湊微分
充分性：先已知可湊微分。
對於\[\int_}p\,\mathrm dx+q\,\mathrm dy=\int_\alpha^\beta\big(p(x(t),y(t))x'(t)+q(x(t), y(t)y'(t)\big)\,\mathrm dt\\=\int_\alpha^\beta\left(\fracx'(t)+\fracy'(t)\right)\,\mathrm dt=u(x(t), y(t))\big|_\alpha^\beta=u(b)-u(a)
\]先說明無關，然後用
偏積分，湊微分
（ljm例1）
例
求\[\frac
\]求解時可由\(\frac=\,\mathrm d\arctan\left(\frac\right)=\,\mathrm d\theta\).
例（北大p77）求曲線積分\(\oint_\frac\)，其中\(l^+\)為光滑的閉曲線。
考慮格林公式的奇點，由於原點處無定義，所以若要使用格林公式，區域不應包括原點。分類討論：
若不包含原點，可以用格林公式得出結果為零。
若包含原點，那麼挖去內心後，內外兩環都是包圍的面積，而內層的是易解的，為\(2\pi\)故外層亦得。
通量是很直觀的封閉面的進出
\[\iint\limits_\overrightarrow\cdot \overrightarrow\,\mathrm ds
\]散度進行了數學優化，在一般情況下也可以求解。大致反映了場密度。
\[\begin
}\,\overrightarrow&=\lim\limits_\frac\oiint_\overrightarrow\cdot \overrightarrow\,d s\\
&=\frac+\frac+\frac\end
\]物理意義是封閉曲面的通量對體積的平均（打散了的密度）。
\[\begin&\lim\limits_\frac\oint_\gamma\overrightarrow\cdot\overrightarrow\,\mathrm d\ell\\
=&\iint_\omega\left(\left(\frac-\frac\right)\,\mathrm dy\,\mathrm dz+\left(\frac-\frac\right)\,\mathrm dz\,\mathrm dx+\left(\frac-\frac\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\right)
\\=&\oint_(p\,\mathrm dx+q\,\mathrm dy+r\,\mathrm dz)\\
\end\]
它的值和
\[\left|\begin
i&j&k\\\\
\frac&\frac&\frac\\\\
p&q&r
\end\right|
\]相同，
這正是乙個上凸曲面的stokes公式的行列式，利用格林公式的思想可以想見，這個積分轉化成邊界的第二型曲線積分。
高數複習（3） 曲線積分的理解
非證明，僅供自己理解 對弧長的曲線積分 對座標的曲線積分 對弧長的曲線積分 對弧長的曲線積分，最重要的理解點在於弧長微元ds的等價轉化到用x y相關變數表示。f x y 是曲線上某點對應座標的引數 比如曲線的 x,y 處質量 當弧長微元極小時，可以看作是一條直線微元，那麼它的長度就可以用這條直線微元...
題解0003 曲線
題目描述 乙個函式f x ma x si x f x max si x si x ax 2 bx c i 1,2.n i 1,2.n i 1,2.n 輸出函式f x f x 的在區間 0 1000 0 1000 上的最小值0,1000 題目思路 三分求解，將範圍分成3份，判斷左右哪邊比較小，然後縮小...
重看css權威指南 part7
這一部分是關於顏色和背景。屬性名 color 值 inherit 應用於 所有元素 繼承性 有 color影響文字的顏色，也會影響邊框的顏色 這一點上章講過 屬性名 background color 值 transparent inherit 初始值 transparent 應用於 所有元素 繼承性...