設\(d\subset \mathbb^n, d\not=\varnothing\)，如果存在乙個對應法則\(f\)，對每乙個\(p(x_1, x_2\cdots x_n)\in d\)， 都有唯一的乙個實數\(y\)與之對應，則稱\(f:\forall p\in d\mapsto y\)是\(d\)上的\(n\)元函式，記作\(y=f(p),p\in d\)或\(y=f(x_1, x_2, \cdots x_n), p(x_1, x_2, \cdots x_n)\in d\)
使表示式有意義，如果還涉及實際問題，不能違背常理
設\(p_0(x_0,y_0)\in\mathbb^2, \^2\}\xlongequal}p_0\)的\(\delta\)鄰域。類似地可以定義去心鄰域。
內點（\(int e\)）、外點、邊界點。全體邊界點組成的集合稱為邊界，記作\(\partial e\)
孤立點必然是邊界點
若\(int e=e\)，則\(e\)為開集。
若\(\mathbb^2-e\)為開集《這個不太好，因為\(\mathbb^2\)既開又閉》，稱\(e\)為閉集。或定義為\(\partial e\subset e\)
連通集、開區域（可簡稱為區域）、閉區域（\(int e+\partial e+isolated\ points\)）
點集的直徑：\(sup\\)（直徑有上界稱為有界集）
類似一元函式，可以寫出定義。趨近過程要求兩個自變數其一不等於趨近點。
幾個重要性質：
\(\lim\limits_}f(x,y)=a\leftrightarrow f(x,y)=a+\alpha(x, y)\)，其中\(\lim\limits_}\alpha(x ,y)=0\)
有夾逼，無單調有界
有四則運算
判斷二元函式極限不存在的方法：
不同路徑趨近所得極限不同。
取乙個路徑極限不存在（少用。因為直接求極限不存在很困難）
累次極限均存在，且不等
累次極限\(\lim\limits_\lim\limits_f(x,y)\ (x\not=x_0, y\not= y_0)\)本質上是求兩次求一元函式極限，與二重極限不同。
例:\(\lim\limits_}\frac=\lim\limits_\frac=\frac\)無極限
但\(\lim\limits_\lim\limits_\frac=0\)
定理：若\(\lim\limits_}f(x,y),\lim\limits_\lim\limits_f(x,y),\lim\limits_\lim\limits_f(x,y)\)都存在，那麼三者相等。
累次極限本質上是一種極限的復合。所以要讓外層存在極限，裡層必須有極限。
從點集關係理解，由於二重極限可以一次動兩個點，自由度更高，在這個極限點位於邊界的情況下，存在極限的可能性更大。而累次極限至少先定乙個，所以想象一下\(f(x,y)=x\sin\frac+y\sin\frac\)的定義域是乙個缺十字的平面，先定其一，比如\(x\)，總是乙個定值，那麼它所確定的\(xoz\)平面在這個狹縫周圍，與曲面會切出一條不光滑的交線（主要由\(x\sin\frac\)決定其中\(x\)為定值，由於第二次極限結果不為0），所以累次極限不存在。在知乎上寫著寫著發現問題了。這跟極限的復合是一樣的。先第一次\(x\to0\)，是乙個平面向\(x=0\)逼近過程當中截線如同龍飛舞一般，對應每乙個\(y\)的值都不穩定。從而發現第二次極限根本就不可能做，因為第一次做完，已經算不上是函式了。
多元點的趨近
最值定理，介值定理（零點存在性定理）
定義 全增量\(\delta z=f(x_0+\delta x, y_0+\delta y)-f(x_0, y_0)\)
連續的第二種定義\(\lim\limits_}\delta x=0\)
初等多元函式在定義域區域上的每一點處都連續。
分段函式\(\longrightarrow\)分塊函式
例
\[u=x^
\]求\(\frac=x^y\ln x\cdot zy^\)(復合函式求導法則)
三種定義\(\lim\limits_\frac=\lim\limits_\frac=\lim\limits_\frac\)
四種兩類記法
\(\frac\big|_=z'_x\big|_=f'_x(x_0, y_0)=\frac\big|_\)
\(\frac\)和\(\frac\)才是整體的運算元。
對於乙個二元隱函式\(f(x,y)=0\)而言\(\frac\cdot\frac=1\)
對於三元隱函式\(g(x, y, z)\)來說,\(\frac\cdot\frac\cdot\frac=-1\)
例\(u=\frac}\)
\(\frac=-(x^2+y^2+z^2)^}+3x^2(x^2+y^2+z^2)\)
輪換對稱得\(\partial^2_yu,\partial^2_zu\)然後得\(\delta=\partial^2_x+\partial^2_y+\partial^2_z=0\)稱作laplace運算元
如果二元函式在某區域上連續則\(\frac, \frac\)在此區域上相等。
混合二階偏導分母上的\(\partial x, \partial y\)順序暫不強調，通常都相等。
\(a(x,y)\delta x+b(x,y)\delta y\)稱為全微分。
如果\(f(x, y)\)可微，則\(\partial_x, \partial_y\)存在且\(\mathrm dz=\frac\mathrm dx+\frac\mathrm dy\)(證明時可以從退化的情況開始)
點可微必點連續。點可微必點偏導存在（\(\rho\to0\rightarrow\delta z\to0\)）但點偏導存在推不出點可微
偏導函式點連續推點可微：理解是由於存在方向性，微分需要乙個穩定擬合的切平面。為了使當\(\rho\)極小的時候這個平面穩定。必須保證至少存在乙個小區域裡這兩個偏導函式足夠光滑（然後在極限的語境之下就可以穩定了），如果其一無論如何不連續，比如**，那稍微換一條路徑逼近的時候無論多麼接近總會發生平面的不穩定。
\(\nabla z=\, \frac\}\)
（由於偏微分運算元\(\frac\)不是乙個分式，所以此處的證明不用像一元函式鏈式法則那樣繁瑣）
\(u=f(x,y,z), z= g(x, y)\)
\(\frac=f_x'+\frac\frac\)，式中\(\partial_x\)和\(\frac\)的意義是不一樣的。
通過全微分可以反推偏導，不用死記公式列式找待求的偏導。只需要按照隱函式求導法得出方程即可。
是\(fermat\)引理的自然延伸。
\[l(x, y, z)=f(x, y, z)+\lambda\cdot\varphi(x, y, z).
\]\[\begin
l_x(x_0, y_0,z_0)=0\\
l_y(x_0, y_0,z_0)=0\\
l_z(x_0, y_0,z_0)=0
\end
\]
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