孫子問題 中國剩餘定理

「孫子問題」在現代數論中是乙個一次同餘問題，它最早出現在我國公元四世紀的數學著作《孫子算經》中。《孫子算經》捲下「物不知數」題說：有物不知其數，三個一數餘二，五個一數餘三，七個一數又餘二，問該物總數幾何？顯然，這相當於求不定方程組： n=

3x+2

, n=

5y+3

, n=

7z+2

, 《孫子算經》所給答案是n=23。由於孫子問題資料比較簡單，這個答數通過試算也可以得到。中國數學家秦九韶於2023年做出了完整的解答，口訣如下：

三人同行七十希，

五樹梅花廿一支，

七子團圓正半月，

除百零五使得知。

這個解法實際上是，首先利用秦九韶發明的大衍求一術求出5和7的最小公倍數35的倍數中除以3餘數為1的最小乙個70（這個稱為35相對於3的數論倒數），3和7的最小公倍數21相對於5的數論倒數21，3和5的最小公倍數15相對於7的數論倒數15。然後70×2+21×3+15×2－2×105=233便是可能的解之一。它加減3、5、7的最小公倍數105的若干倍仍然是解，因此最小的解為233除以105的餘數23。

附註：這個解法並非最簡，因為實際上35就符合除3餘2的特性，所以最小解是：35×1+21×3+15×2－105=23。最小解加上105的正整數倍都是解。

我們可以將上訴問題改為求一次同餘方程的形式即：

k1*35≡1（mod3）求出k1*35的最小值為70，k1=2;

k2*21≡1（mod5）求出k2*21的最小值為21，k2=1;

k3*15≡1（mod7）求出k3*15的最小值為15，k3=1;

我們想得到a模3餘1題中要求餘2，所以用70再乘以2就得到a，這時a模3就餘2了，同理用21*3，15乘以2。再相加得到n=2*35*2+1*21*3+1*15*2=233。233所在的模105的剩餘類都滿足條件即n=23+k*105.

例如：4關於模7的乘法逆元為多少？

4*x≡1(mod 7)

這個方程等價於求乙個x和k，滿足

4x=7k+1

其中x和k都是整數。

若ax=1 mod f 則稱a關於模f的乘法逆元為x。也可表示為ax≡1(mod f)。

當a與f互素時，a關於模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素，則無解。如果f為素數，則從1到f-1的任意數都與f互素，即在1到f-1之間都恰好有乙個關於模f的乘法逆元。

例如，求5關於模14的乘法逆元：

14=5*2+4

5=4+1

說明5與14互素，存在5關於14的乘法逆元。

1=5-4=5-(14-5*2)=5*3-14

因此，5關於模14的乘法逆元為3。

在模運算中，

加法單位元是0，因為(0+a) mod m = a mod m；

乘法單位元是1，因為(1×a) mod m = a mod m

定義 對a∈zm，存在b∈zm，使得a+b ≡ 0 (mod m)，則b是a的加法逆元，記b= - a。

定義 對a∈zm，存在b∈zm，使得a×b ≡1 (mod m)，則稱b為a的乘法逆元。

其求法可用歐幾里德演算法：

extended euclid(d，f)//演算法求d關於模f的乘法逆元d−

1 ，即 d∗

d−1m

odf=

1 (x1，x2，x3) := (1，0，f)； (y1，y2，y3) := (0，1，d)

if (y3=0) then return d−

1 = null //無逆元

if (y3=1) then return d−

1 = y2 //y2為逆元

q := x3 div y3 //整除

(t1，t2，t3) := (x1 - q*y1 , x2 - q*y2，x3 - q*y3)

(x1，x2，x3) := (y1，y2，y3)

(y1，y2，y3) := (t1，t2，t3)

goto 2

以上解法若推廣到一般情況，便得到了中國剩餘定理的乙個構造性證明。

一般地，中國剩餘定理是指若有一些兩兩互質的整數 ，則對任意的整數：a1,a2,…an，以下聯立同餘方程組對模有公解：

有解的判定條件，並用構造法給出了在有解情況下解的具體形式。

中國剩餘定理說明：假設整數m1

,m2,

...,

mn兩兩互質，則對任意的整數：a1

,a2,

...,

an，以上同餘方程組 有解，並且通解可以用如下方式構造得到： 設m

=m1∗

m2∗.

..∗m

n=∏n

i=1m

i 是整數m1

,m2,

...,

mn的乘積，並設mi

=m/m

i 是除了mi

以外的n−

1 個整數的乘積。 設t

i=m−

1i為m

i 模mi

的數論倒數(ti

為mi 模mi

意義下的乘法逆元)mi

ti≡1

(modm)

i∀∈

以上同餘方程組的通解形式為x=

a1t1

m1+a

2t2m

2+..

.+an

tnmn

+km=

∑i=1

nait

imi+

km,k

∈z.

在模m的意義下，方程組只有乙個解：x=

（∑i=

1nai

timi

）(modm

)擴充套件歐幾里得演算法的推導參考：擴充套件歐幾里得演算法

#include 

typedef long long ll;
ll extended_euclid(ll a, ll b, ll *x, ll *y)
printf("before a:%lld,b:%lld,*x:%lld,*y:%lld\r\n",a,b,*x,*y);
d = extended_euclid(b, a%b, x, y);
ll temp = *x;
*x = *y;
*y = temp - a/b*(
*y);
printf("after a:%lld,b:%lld,*x:%lld,*y:%lld\r\n",a,b,*x,*y);
return d;
}ll chinese_remainder(ll a, ll w, ll len)
for (i=0;im=n/w[i];
d = extended_euclid(w[i], m, &x, &y);
printf("x:%lld,y:%lld\r\n",x,y);
ret=(ret+y
*m*a[i])%n;
}return (n+ret%n)%n;
}int main()
,w = ;
printf("chinese_remainder:%lld\r\n",chinese_remainder(a,w,3));
return
0;}

中國剩餘定理（孫子定理）

設m1,m2 mk是k個兩兩互素的正整數 則同餘方程組 x a1 mod m1 x a2 mod m2 x ak mod mk 記m m1 m2 m3 mk 有bj使mm j bj 1 m odmj 則x i 1 kmmj aj bjps x不一定是最小的需要mod m 例題 求下列同餘方程組最小解...

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