圖 \(g=(v,e)\) 有完美匹配當且僅當滿足 \(\forall u\subseteq v,o(g-u)\le|u|,o(x)\) 表示 x 子圖的奇連通塊數。
圖 \(g=(v,e)\) 的最大匹配數為 \(\frac12\min\limits_\\)
如果 g 有完美匹配，那麼每個奇連通塊至少有乙個點需要與 u 中的點匹配，故得證.
定義壞集 s 滿足 \(|s|，那麼圖 g 中不能存在壞集。
如果 s 是 g 的壞集，那麼 s 也一定是 g 的匯出子圖的壞集。
於是不妨令 g 滿足 g 不存在完美匹配，且加入任意一條不在 g 中的邊後存在完美匹配。
令 s 為滿足度數為 \(|v|-1\) 的點集，首先考慮 \(g-s\) 中的每個連通塊都是團的情況，容易發現 s 一定是壞集。
於是 \(g-s\) 中至少有乙個連通塊不是團，考慮把這個連通塊扯出來討論，我們找出其中兩個沒有邊直接相連的點 \(x,y\) ，設從 \(x\rightarrow y\) 最短路上的頭三個點為 \(a,b,c\) ，那麼顯然 \((a,c)\notin e\) ，且一定存在點 \(d\) 滿足 \((b,d)\notin e\) 。
由於上面限制了 g 加入任意一條不在 g 中的邊後都存在完美匹配，因此我們設 \(m_1\) 是 \((v,e\cup(a,c))\) 的一組完美匹配， \(m_2\) 是 \((v,e\cup(b,d))\) 的一組完美匹配，顯然 \((a,c)\in m_1,(m_2)\in m_2\) （第一次走 \(m_1\) 的）。
然後定義 p 是在 g 上面從 d 出發，交替走 \(m_1,m_2\) 中的邊得到的最長路徑，顯然最後會落在 \(a,b,c\) 點中的乙個。
如果落在 b 點，我們令 \(c=p\cup(b,d)\) ，否則令 \(c=p\cup(a/c,b)\cup(b,d)\) ，這樣 c 就是乙個偶環，對於 c 我們選擇不在 \(m_2\) 中的邊可以形成一組新的匹配，對於 \(g-c\) 中的點我們按照 \(m_2\) 中的邊匹配，這樣就形成了一組新的完美匹配，故得證.
定義 \(def(g)\) 表示圖 g 最大匹配中未被覆蓋定點數， \(\nu(g)\) 表示 g 的最大匹配數，那麼顯然有 \(def(g)=|v|-2\nu(g)\).
移項即可
設 \(\delta'(g)=\max\limits_\\) ，並設 \(s\) 是取得最大值時的 \(u\) ，即證 \(\delta'(g)=def(g)\)。
顯然有 \(\delta'(g)\ge0\) ，下面根據 \(\delta'(g)\) 的取值進行分類討論。
\(\delta'(g)=0\) ，那麼滿足 tutte 定理的條件，整張圖存在完美匹配， \(\delta'(g)=def(g)=0\)
\(\delta'(g)>0\) ，那麼一定有若干奇連通塊存在點在 x 中未被覆蓋，設該個數為 \(x\) ，\(o(g-x)=y\) ，那麼一定滿足 \(x\ge y-|x|\) 和 \(x\le def(g)\) ，因此 \(\delta'(g)\le def(g)\)成立。
另一方面，考慮構造乙個有 \(\delta'(g)=0\) 個點的完全圖 h ，然後跟 g 拼乙個新圖 \(g'=(v_h\cup v_g,e_h\cup e_g\cup\)\)
容易在利用 tutte 定理簡單討論後證明 g' 有完美匹配，因此 \(|v_h|=\delta'(g)\ge def(g)\) ，因此 \(\delta'(g)=def(g)\) ，故 tutte-berge 公式得證.
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