300iq Contest 1 簡要題解

目錄二分圖 l 字匹配，考慮把每個 * 拆成兩個點，乙個跟左/右的 . 連邊，乙個跟上/下的 . 連邊，然後把每個 + 拆成兩個點，兩個都跟上下左右的 . 連邊。

然後跑帶花樹之後構造方案即可

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考慮二分答案，然後發現最小值一定會被選，因此把最小值 shift 到開頭用線段樹維護 dp 即可。

貌似能 o(nlogn)，好像是考慮相鄰兩個數一定有乙個不超過二分值的一半

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考慮把 a 序列搞成 \(-n\)~\(-1\) ，然後 b 序列在 sort 後可以是一段 0 的字首，乙個或者零個 \(1\)~ \(n-1\) 的數，然後一段 n 的字尾。

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首先可以建出二分圖最大費用流模型，由於費用流跟源點匯點相連的邊不會退流，因此可以按照權值從大到小貪心，如果能加就加。

考慮用 hall 定理判定能不能加入。

如果列舉的集合形成若干連續段，那麼只需要每個連續段分別滿足條件即可，因此列舉的集合的區間並一定是乙個區間。

又因為 \(l_i\le l_,r_i\le r_\) ，所以只用考慮選擇的區間標號也是連續的情況。

我們設 \(b_i\) 表示 \(i\) 是否被選。

那麼必須要滿足 \(\min\limits_\^a_i-\sum\limits_^rb_i\}\ge0\)

把 \(a\) 記字首和差分，發現是 \(\min\limits_\-a_-\sum\limits_^rb_i\}\ge0\)

然後可以線段樹維護了。

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直接高消顯然沒法過，考慮設 \(f_i\) 表示步數 \(>i\) 的概率，\(g_\) 表示走 \(i\) 步到 \(j\) 的概率，顯然可以矩乘轉移 \(g\) ，由於 \(f_i=\sum\limits_^g_\) ，因此可以用 bm 求出 \(f\) 的特徵多項式 \(c\) ，我們設 \(f\) 的生成函式是 \(f\) ，那麼 \(f=f*c+f_0\) 。

考慮答案就是 \(f(1)=\frac\) ，直接算即可。

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發現一棵樹可以直接消完，如果有環一定消不完，所以就是統計把這個消成乙個森林需要砍掉的最小邊數。

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考慮模仿 \(tutte\) 定理裡面的乙個過程，我們設所有度數為 \(|v|-1\) 的點的集合為 \(s\) ，那麼剩下的一定是 \(|s|+2k,k>0\) 個奇團，由於加一條邊就要完美匹配，因此 \(k=1\) ，然後就是拆分數裸題。

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考慮第 \(i\) 個左側點往前 \(a_i\) 個右側點連邊，且 \(a_i\ge a_\)

這樣不好的集合個數就是 \(2^n-1-\sum\limits_^n\sum\limits_^c_^j\) ，然後構造即可。

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分析一下題目中的條件發現每個連通塊大小 \(<7\) ，那麼可以求出每種連通塊的染色方案和每種連通塊的個數然後暴力 merge

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首先把條件轉化把序列分為 k 段使得每段平方和最小，這個容易證明其正確性。

然後可以凸優化+斜率優化，但可能會跳過正確的 k

考慮這個式子是滿足決策單調性的，也就是對於乙個點其決策點是乙個連續段，可以推出合法的段數也是連續段，因此我們在斜率 dp 的時候同時求出段數的最值

然後就能輸出方案了

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對於任意乙個串都可以經過若干次操作得到乙個唯一的長度最短的串。

我們把縮串後相同的串看成乙個等價類。

手玩出所有等價類和等價類之間的轉移之後跑矩陣快速冪即可。

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