代數基本定理：n次復係數多項式方程在複數域內有且只有n個根。從它的名字來看，「基本」 二字說明了這一定理對當時代數研究的重要意義。數學史上，在這一定理出現之前，代數領域的主要研究內容為求解多項式方程，但對於根的一些特性（求解方法，數目）了解甚少。因此，代數基本定理的出現，告訴了人們根的數目。只要求出對應數量的根，經過帶入多項式驗證之後，就可以證明這些根是其所有解。
在進入複數域之前，我們先考慮實係數多項式。在微積分中，有一種求解任意分式多項式的方法，就是把分母多項式分解為一次以及二次多項式的乘積，然後將整個分式拆分成分母為一次或者二次多項式的簡單分式，再對每個部分分別積分相加，即可得到最終的積分結果。
接下來我們從根的角度考慮分母多項式。每拆分出乙個一次多項式，表明原多項式有乙個實根。對於二次多項式，因為其不能繼續分解為一次多項式，其判別式必定小於零， 此時在實數域無法進行開根號操作。擴充套件到複數域之後，每個二次多項式均可得到兩個複數根。因此在複數域中，原n次實係數多項式共有n個根（包含重根）。那麼對於復係數多項式，是否也有類似的特性呢？代數基本定理給出了肯定的答案。
根據數學歸納法，我們只需要證明對於任意乙個n(>0)次的復係數多項式，其在複數域中至少有乙個根即可。
反證假設：對於乙個n次復係數多項式根據這一假設，我們只要推出柳維爾定理在常值函式與完備函式之間建立了一座橋梁，其具體表述為
柳維爾定理：如果乙個函式在複數域中是完備而且有界的，那麼這個函式的值在整個複數域中為常數。證明：我們考慮乙個完備的復函式
其中c為一條簡單閉曲線，
因為c可以為任意簡單閉曲線，即r可為任意正實數，因此上式右邊可以為任意小的正數，即導數為0，因此f為乙個常值函式。
因為p(z)不為0， 我們考慮函式
則因為z可以為任意複數，因此存在乙個正數r使得當|z|>r時，上述不等式右邊的每一項都小於
可以得到
因此，可以得到該函式在圓盤外有界，又因為其在圓盤內連續，因此其在整個複數域上有界。根據柳維爾定理，該函式為常函式，這跟分式多項式矛盾。 因此，p(z)至少有乙個複數根。根據數學歸納法，代數基本定理的常用表述也成立。
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