用冪級數 (也就是 oi 中的 "多項式") 來近似地表示乙個函式.
假設我們需要表示出的函式為 \(g(x)\), 最後得到的多項式為 \(f(x)\).
容易得到, 若 \(f(x)\) 的任意階導數都與 \(g(x)\) 的對應階導數相等, 那麼 \(f(x) \leftrightarrow g(x)\)
所以我們在 \(g(x)\) 的定義域內取乙個數 \(x_0\), 然後列出方程
\[\begin
f(x_0) &= g(x_0) \\
f'(x_0) &= g'(x_0) \\
f''(x_0) &= g''(x_0) \\
&\ \ \vdots \\
f^(x_0) &= g^(x_0) \\
f^(x_0) &= g^(x_0) \\
&\ \ \vdots \\
\end
\]我們取前若干個方程, 解出 \(f(x)\) 的係數, 就可以近似地表示出 \(g(x)\) 了. 即
\[g(x) = f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \xi
\]其中 \(\xi\) 為餘項.
若將 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 處進行泰勒展開, 則有
\[\beging(x) &= \frac + \frac(x_0)} (x - x_0) + \frac(x_0)} (x - x_0)^2 + \frac(x_0)} (x - x_0)^3 + \cdots + \frac(x_0)} (x - x_0)^n + \xi \\&= \sum_ \frac(x_0)}(x - x_0)^i\end
\]
泰勒展開及其應用
在實際應用中對於具有複雜形式的函式我們常常希望用較為簡單的函式形式表示他，而多項式就是這種簡單的形式。比如對於指數函式 三角函式，我們可以使用多項式來逼近。為了逼近 或者說是仿造 目標函式曲線f x 首先選擇乙個切入點 x0,f f0 然後讓此處的增減性相同,即一階導數相同。再使其凹凸性相同 二階導...
泰勒展開式的推導
泰勒展開式真是個好東西。可以很方便的把乙個函式展開成冪級數。即 當 x相當小的時候。這種計算方式簡單又相當準確。可以從心裡感悟到數學美。此外，二階近似又比線性近似提高了乙個級別的精確度。可以從心靈裡感悟到近似函式典線努力的往原本的函式典線靠近。可想而知，再提高端數，就更精確了。當把階數拓展到n階 很...
泰勒展開式的推導
泰勒展開式的推導 導數是函式影象在某一點處的斜率，也就是縱座標變化率和橫座標變化率的比值。微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得 x以後，縱座標取得的增量。函式相加，導數也是相加和的積分等 於積分的和 泰勒展開式真是個好東西。可以很方便的把乙個函式展開成冪級數。即 從函式的線性近似 當把階數拓...