我們可以用乙個多項式函式去逼近乙個連續可導的函式，泰勒展開就是求這樣乙個多項式函式。
用乙個函式去逼近乙個函式，函式是一系列值，不是單個值，如果是單個值，那麼很簡單的直接讓其相等即可，但是若是一系列值，且是連續可導的，自然的，除了讓逼近的函式和原函式在某處的值相等以外，還需要讓其變化趨勢也一樣，這樣才是更好的逼近。
變化趨勢的含義就是導數，且是任意階導數，因此我們要使得逼近函式和原函式在某處的任意階導數相等，這樣才是最好的逼近。
進一步發現，如果在某處的任意階導數相等，那麼實際上逼近函式和原函式在該處的鄰域應該是完全重合相等的，即存在乙個delta使得在該點距離delta的鄰域內，所有點和原函式重合，不然就一定存在某階導數不想等。這算是乙個引理，你細品。其實直觀上理解，動態看，函式的值由初始值和變化所決定，初始值就是展開點的函式值，這個我們很容易保證，而寬泛的變化這個概念，其實就是由任意階導數所全部涵蓋的，因此，只要保證展開處的函式值和任意階導數相等，那麼在展開處的一定存在乙個鄰域使得逼近函式和原函式完全重合。
接下來，由於原函式是在任意點都是連續可導的，這個條件使得，只要逼近函式和原函式存在重合的鄰域，那麼必然整個函式都必須完全重合。這也算乙個引理，但其實很好理解，我們假設這個重合的鄰域在某處右側分離，那麼因為左側完全重合，所以逼近函式的任意階導數和原函式的任意階導數在相同階數下是相等的，但是在右側，由於發生了分離，那麼必然存在某階(設為m階)是不相等的，由於逼近函式就是多項式函式，所以肯定在任意點都是任意階可導的，因此在m階，原函式的左側導數和逼近函式相等，逼近函式的左右兩側導數都相等，但是原函式的右側導數和逼近函式的右側不相等，所以原函式在m階左右導數不等，自然就違背了連續可導假設。
至此，我們得到泰勒展開的多項式函式和原函式是相等的。
泰勒展開式的理解
若進行二次近似，近似的多項式和原始函式既過同一點，而且在同一點的導數相同，也就是多項式表達的函式在切線也相同。類似進行三次近似的話，不僅經過同一點，切線相同，彎曲程度也相同了。一直下去。這樣近似相關程度多大，近似的也就越精確了。來自樓上提供的 intuition explanation of tay...
泰勒展開式的理解
泰勒公式是將乙個在x x0處，且具有n階導數的函式p x 利用關於 x x0 的n次多項式來逼近函式f x 我們想要近似的函式 的方法。泰勒展開式在x x0點展開形式為 即f x 只是用來近似t x 在x0點附近的函式值 其本質就是為了在某個點附近，用多項式函式來近似其他函式。之所以要使用多項式來近...
泰勒展開式的理解
若進行二次近似，近似的多項式和原始函式既過同一點，而且在同一點的導數相同，也就是多項式表達的函式在切線也相同。類似進行三次近似的話，不僅經過同一點，切線相同，彎曲程度也相同了。一直下去。這樣近似相關程度多大，近似的也就越精確了。來自樓上提供的 intuition explanation of tay...