1、核
所有經過變換矩陣後變成了零向量的向量組成的集合，通常用ker(a)來表示。
假設你是乙個向量，有乙個矩陣要來變換你，如果你不幸落入了這個矩陣的核裡面，那麼很遺憾轉換後你就變成了虛無的零。特別指出的是，核實「變換」（transform）中的概念，矩陣變換中有乙個相似的概念叫「零空間」。有的材料在談到變換的時候使用t來表示，聯絡到矩陣時才用a，本文把矩陣直接看作「變換」。核所在的空間定義為v空間，也就是全部向量原來的空間。
2、值域
某個空間中所有向量經過變換矩陣後形成的向量的集合，通常用r（a）來表示。
假設你是乙個向量，有乙個矩陣要來變換你，這個矩陣的值域表示了你將來所有可能的位置。值域的維度也叫做秩（rank）。值域所在的空間定義為w空間。
3、空間
向量與建立在其上的加、乘運算構成了空間。向量可以（也只能在）空間中變換。使用座標系（基）在空間中描述向量。
不管是核還是值域，它們都是封閉的。意思是說，如果你和你的朋友困在核裡面，你們不管是相加還是相乘都還會在核裡面，跑不出去，這就構成了乙個子空間。值域同理。
數學家證明了，v（核所在的空間定義為v空間）的維度一定等於它的任意乙個變換矩陣的核的維度加上值域的維度。
v的維度也就是v的基的數目。這些基分為兩部分，一部分在核中，一部分是值域中非零象的原象（肯定可以分，因為核和值域都是獨立的子空間）。如果把v中的任意向量用基的形式寫出來，那麼這個向量必然也是一部分在核中，另一部分在值域中非零象的原象裡。現在對這個向量作變換，核的那部分當然為零了，另一部分的維度剛好等於值域的維度。
根據矩陣的性質，變換矩陣的行數等於v的維度，變換矩陣的秩等於值域r的維度，所以可以得出：
因為a的秩又是a行空間的維度（注意在非滿矩陣中這個數肯定小於行數），所以上述公式可以變為：
之所以寫成這個形式，是因為我們可以發現a的零空間和a的行空間是正交互補的。正交是因為零空間就是核，按定義乘以a的行向量當然為零。互補是因為它們加起來剛好張成整個v空間。
這個正交互補導致了非常好的性質，因為a的零空間和a的行空間的基組合起來剛好可以湊成v的基。
如果把以上方程取轉置，則可以得到：
因為的實際意義是把值域和定義域顛倒過來了，所以
的零空間就是值域以外的區域投向v中零點的所有向量的空間，有人將其稱為「左零空間」（left null space）。這樣就可以得到：
同樣，a的左零空間與a的列空間也正交互補，它們加起來剛好可以張成w空間，它們的基也構成了w的基。
變換矩陣實際上就是把目標向量從行空間轉換到列空間。
我們試圖構造乙個這樣的變換矩陣a：它把向量變換到乙個值域空間，這個值域空間的基是正交的；不僅如此，還要求任對於意乙個基v都有
的形式，
是原來空間的乙個已知基。這樣我們就能把複雜的向量問題轉換到乙個異常簡單的空間中去。
如果的數量不等於v，那麼用
取代a，可以變為乙個對稱且半正定矩陣，它的特徵向量正是要求的基v！
再次說明，矩陣不等於變換，把矩陣看成變換只是提供乙個理解變換矩陣的方法。或者，我們可以認為，矩陣只是變換的一種變現形式。
**：特徵值和特徵向量的幾何和物理意義
列向量，列空間，零向量，零空間
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