算數基本定理與質因數分解

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算術基本定理可以表述為：對任意大於 \(1\) 的自然數，若不為質數，則一定能且只能寫成一種有限個質數乘積的形式

或者可以表述為：對 \(\forall n\in n\) 且 \(n>1\) ，對所有的 \(m\) 個小於等於 \(n\) 質數 \(p_\) ，\(\displaystyle n=\prod_^mp_i^,p_i\in prime,c_i\in n\) 存在且唯一存在

我們用歸納法證明：考慮合數 \(n\) ，假設 \(n\) 以內的數要麼都是質數，要麼所有合數都符合上述定理

當 \(n\) 為最小的合數 \(4\) 時，\(n=2\times 2=2^2\) 符合上述定理

其它情況下，因為 \(n\) 為合數，所以一定存在 \(a,b\in n\) 且 \(1使得 \(n=a\times b\)

設一共有 \(m\) 個小於等於 \(n\) 的質數 \(p_\)

由於 \(a因此 \(a\) 符合上述定理

故 \(a\) 可唯一地寫作 \(\displaystyle a=\prod_^p_i^,p_i\in prime,c_i\in n\)

\(\because a

\(\therefore m_a\leq m\)

\(\therefore a\) 可唯一地寫作 \(\displaystyle a=\prod_^p_i^\cdot\prod_^mp_i^0,p_i\in prime,c_i\in n\)

我們令 \(d_i=\begin

ca_i,0

故 \(a\) 可唯一地寫作 \(\displaystyle a=\prod_^mp_i^,p_i\in prime,d_i\in n\)

同理，我們可以將 \(b\) 唯一地寫作 \(\displaystyle b=\prod_^mp_i^,p_i\in prime,e_i\in n\)

因此 \(n\) 可唯一地寫作 \(\displaystyle n=a\times b=\prod_^mp_i^\cdot\prod_^mp_i^=\prod_^mp_i^,p_i\in prime,d_i\in n,e_i\in n\)

令 \(c_i=d_i+e_i\) 因此，證得上述結論

綜上，算術基本定理得證

由算數基本定理，我們得到，乙個大於 \(1\) 的自然數，一定能分解為若干個質數的乘積

下面我們來具體考慮如何劃分：

首先，定理的成立表明：對 \(n\) 以內的 \(m\) 個質數 \(p_\) ，保證 \(n=\prod_^mp_i^,p_i\in prime,c_i\in n\) 這一等式中的 \(c_i\) 都是唯一確定的

因此，將 \(n\) 劃分為質數，即求出 \(c_\)

首先，十分顯然：我們可以花費 \(o(n)\) 的時間篩出 \(n\) 以內的質數，然後乙個乙個去實驗

int prime[maxn],cntprime=0,c[maxn]=;
sieve_prime(int n)
...sieve_prime(n);
int copy=n;
for(int i=1;i<=cntprime;i++)
}

\(n\) 以內的質數個數大概 \(\) 個，每個質因數被除的記憶體迴圈，複雜度為 \(o(\log n)\)

因此，分解的複雜度為 \(o(n)\) ，加上前面篩素數，總複雜度 \(o(n)\)

通過細心觀察可以發現：對於大於等於 \(\sqrt n\) 的質因數，一定不會存在超過乙個

若存在兩個大於等於 \(\sqrt n\) 的質因數，設它們分別為 \(p_a,p_b,p_a\leq p_b\)

單這兩個質因數的乘積 \(p_a\times p_b\leq \sqrt n\times \sqrt n=n\) 就注定了不可能同時是 \(n\) 的因數

因此大於等於 \(\sqrt n\) 的質因數，一定不會存在超過乙個

所以我們只需要花費 \(o(\sqrt n)\) 將 \(\sqrt n\) 以內的質數篩出來，然後重複上述操作

最後得到的如果是 \(1\) ，則代表沒有大於 \(\sqrt n\) 的質因數；否則，剩下的本身就是質因數

int prime[maxn],cntprime=0,c[maxn]=;
sieve_prime(int n)
...sieve_prime( (int)sqrt(n) );//或者在函式裡面改為 i*i<=n
int copy=n;
for(int i=1;i<=cntprime;i++)
}if(copy!=1)

因為 \(\sqrt n\) 以內的質數個數大概 \(}=\)，每個質數的複雜度為 \(o(\log n)\)

因此分解的複雜度為 \(o(\sqrt n)\) ，加上篩質數的複雜度

總複雜度 \(o(\sqrt n)\)

算數基本定理與質因數分解

質因數分解

質因數分解

質因數分解

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