BZOJ4198 荷馬史詩哈夫曼編碼

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追逐影子的人，自己就是影子。 ——荷馬

allison 最近迷上了文學。她喜歡在乙個慵懶的午後，細細地品上一杯卡布奇諾，靜靜地閱讀她愛不釋手的《荷馬史詩》。但是由《奧德賽》和《伊利亞特》組成的鴻篇巨制《荷馬史詩》實在是太長了，allison 想通過一種編碼方式使得它變得短一些。

一部《荷馬史詩》中有 n 種不同的單詞，從 1 到 n 進行編號。其中第 i 種單詞出現的總次數為 wi。allison 想要用 k 進製串 si 來替換第 i 種單詞，使得其滿足如下要求:

對於任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的字首。

現在 allison 想要知道，如何選擇 si，才能使替換以後得到的新的《荷馬史詩》長度最小。在確保總長度最小的情況下，allison 還想知道最長的 si 的最短長度是多少？

乙個字串被稱為 k 進製字串，當且僅當它的每個字元是 0 到 k−1 之間（包括 0 和 k−1）的整數。

字串 str1 被稱為字串 str2 的字首，當且僅當：存在 1≤t≤m，使得 str1=str2[1..t]。其中，m 是字串 str2 的長度，str2[1..t] 表示 str2 的前 t 個字元組成的字串。

輸入檔案的第 1 行包含 2 個正整數 n,k，中間用單個空格隔開，表示共有 n 種單詞，需要使用 k 進製字串進行替換。

接下來 n 行，第 i+1 行包含 1 個非負整數 wi，表示第 i 種單詞的出現次數。

輸出檔案包括 2 行。

第 1 行輸出 1 個整數，為《荷馬史詩》經過重新編碼以後的最短長度。

第 2 行輸出 1 個整數，為保證最短總長度的情況下，最長字串 si 的最短長度。

4 2112

2122用 x(k) 表示 x 是以 k 進製表示的字串。

一種最優方案：令 00(2) 替換第 1 種單詞，01(2) 替換第 2 種單詞，10(2) 替換第 3 種單詞，11(2) 替換第 4 種單詞。在這種方案下，編碼以後的最短長度為：

1×2+1×2+2×2+2×2=12

最長字串 si 的長度為 2。

一種非最優方案：令 000(2) 替換第 1 種單詞，001(2) 替換第 2 種單詞，01(2) 替換第 3 種單詞，1(2) 替換第 4 種單詞。在這種方案下，編碼以後的最短長度為：

1×3+1×3+2×2+2×1=12

最長字串 si 的長度為 3。與最優方案相比，文章的長度相同，但是最長字串的長度更長一些。

對於所有資料，保證 2≤n≤100000，2≤k≤9。

選手請注意使用 64 位整數進行輸入輸出、儲存和計算。

題解：似乎這道題是純粹的要求掌握知識點。。。

如果學過哈夫曼樹的話，這就接近一道板子題了。

我們先來科普下哈夫曼樹：

如果我們設點到根節點的邊數×點權為點的帶權路徑長度，一顆樹中每個節點的帶權路徑長度和為樹的帶權路徑長度，

給定n個權值作為n個葉子結點，構造一棵二叉樹，若樹的帶權路徑長度達到最小，稱這樣的二叉樹為最優二叉樹，也稱為哈夫曼樹。

也就是說，哈夫曼樹是帶權路徑長度最短的樹，權值較大的結點離根較近。

在構造哈夫曼樹時，我們只需要取出權值最小的兩個點，把他們合併起來，權值和作為新的節點的權值，

在最後只剩下乙個節點時我們就得到了這些節點對應的哈夫曼樹。

哈夫曼樹最重要的功能就是字首編碼了！

我們給每個單詞（或者字母）編碼的時候，為了使總長度短一些，可以考慮給每個單詞/字母不等長編碼。

也就是說，單詞中使用頻率高的用短碼，使用頻率低的用長碼，從而優化總長度。

當然，這些編碼也不能引起誤會，也就是說，不能出現某個串是其他某個串的字首。

那麼這時候，我們可將每個單詞的出現頻數作為單詞結點的權值賦予該結點上，

顯然單詞使用次數越小權值越小，權值越小葉子就越靠下，於是頻率小，到根節點距離就長，編碼也就長，同理次數大編碼短，

這樣就保證了此樹的最小帶權路徑長度效果上就是文章的最短長度。

我們再看這道題：

allison 想要用 k 進製串 si 來替換第 i 種單詞，使得其滿足如下要求:

對於任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的字首。

現在 allison 想要知道，如何選擇 si，才能使替換以後得到的新的《荷馬史詩》長度最小。

顯然，這裡我們就要用哈夫曼樹做乙個編碼即可，但是本題是用k進製編碼：

那麼我們只需要把哈夫曼樹由二叉樹變成k叉樹----但是可能節點個數不夠。

我們考慮，一顆滿的k叉哈夫曼樹，節點數可以表示為n*k*(k-1)+1----也就是說，如果n%((k-1)*k)!=1

，我們可以補上幾個權值為0的節點，補到n*k*(k-1)+1個，這樣他們並不會對我們的建樹以及計算產生任何影響（權值為0，計數時也不會計入長度）

最後我們只要輸出整棵樹的帶權路徑長度，以及這棵樹中最深的節點深度-1就行了！

**見下：

1 #include 2 #include 3 #include 4 #include 5
using
namespace
std;
6 typedef long
long
ll;7
const
int n=100010;8
int n,k,maxdeep[n<<7
];9 ll sum[n<<7],w[n<<7
];10
struct
point
1114     inline bool
operator
< (const point &b)const
15         
16     inline bool
operator > (const point &b)const
17         
18};
19 priority_queue, greater>q;
20int
main()
2135     printf("
%lld\n%d
",sum[q.top().id],maxdeep[q.top().id]-1
);36 }

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