題目
記得曾經和穩穩比誰後抄這個題的題解，看來是我輸了
不難發現\(p\)是給著玩的，只需要求乙個總情況數除以\(\binom\)就好了
記\(i\)為無效的失敗次數，即\(\rm alice\)在得分為\(0\)時的失敗次數，那麼最後的得分就是\(n-m+i\)
不妨將贏看成\(1\)輸看成\(-1\)，我們把輸贏情況寫成乙個\(n+m\)的序列，記這個序列的最小字首和為\(t\)，那麼無效失敗次數就是\(|\min(0,t)|\)，也就是當\(t<0\)的時候，得分應為\(n-m+|t|\)
證明的話，考慮一種構造方法，我們把對最小字首和產生影響的\(t\)個\(-1\)拿出來，顯然兩個\(-1\)之間的數的和應為\(0\)，和為\(0\)意思就是分數可能漲了漲但最後又扣成\(0\)了，於是在得分為\(0\)的時候失敗的次數就是\(t\)次
之後套路的轉化成乙個平面上的問題，將\(-1\)視為向上走，\(1\)視為向右走，那麼無效失敗次數為\(i\)的方案數等價與在座標系上從\((0,0)\)走到\((n,m)\)且經過至少一次\(y=x+i\)且不超過的方案數
簡單容斥一下，求一下嚴格低於\(y=x+i+1\)的方案數減一下嚴格低於\(y=x+i\)的方案數就好了
這個老哥的部落格裡的圖挺好的
對於乙個不合法的方案，我們取第一次達到\(y=x+i\)之前的路徑，並將這段路徑沿\(y=x+i\)翻摺，就得到了一條從\((-i,i)\)到\((n,m)\)的路徑，不難發現這樣的路徑會經過至少一次\(y=x+i\)，所以這樣的路徑和不合法的路徑是一一對應的，顯然這樣的路徑條數是\(\binom\)
於是嚴格低於\(y=x+i\)的路徑條數就是\(\binom-\binom\)，於是恰好經過經過至少一次\(y=x+i\)且不超過的方案數為\(\binom-\binom-\binom+\binom=\binom-\binom\)
對於\(n\geq m\)的情況，我們求得即為\(\sum_^m(n-m+i)(\binom-\binom)\)
簡單劃開就會發現求得其實是\((n-m)\binom+\sum_^\binom\)
多組詢問求後面那個柿子好像還是一道題來著，直接大力莫隊即可
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