為了說明命題函式的概念，下面先舉例解釋命題與謂詞的關係。
設h是謂詞「能夠到達山頂」，l表示客體名稱李四，t表示老虎，c表示汽車，那麼h（l）
，h（t），h（c）等分別表示各個不同的命題，但他們有乙個共同的形式，即h（x）。
當x分別取l，t，c時就表示「李四能夠到達山頂」，「老虎能夠到達山頂」，「汽車能
夠到達山頂」。
同理，若l（x，y）表示「x小於y」，那麼l（2，3）表示了乙個真命題：「2小於3」。
而l（5，1）表示假命題：「5小於1」。
又如a（x，y，z）表示了真命題「3+2= 5」
，而a（1，2，4）表示了乙個假命題「1+
2= 4」
。 從上述三個例子中可以看到h（x），l（x，y），a（x，y，z）本身不是乙個命題，只
有當變元x，y，z等取特定的客體時，才確定了乙個命題。
定義2-2·1 由乙個謂詞，一些客體變元組成的表示式稱為簡單命題函式。
根據這個定義可以看到，n元謂詞就是有n個客體變元的命題函式，當n=0時，稱為0元
謂詞，它本身就是乙個命題，故命題是n元謂詞的乙個特殊情況。
由乙個或n個簡單命題函式以及邏輯聯結詞組合而成的表示式稱復合命題函式。
邏輯聯結詞┓，∧，∨，→，
«，的意義與命題演算中的解釋完全類同。
例1 設s（x）表示「x學習很好」，用w（x）表示「x工作很好」。則┓s（x）表示「
x學習不是很好」。s（x）∧w（x）表示「x的工作，學習都很好」。s（x）→w（x）
表示「若x的學習很好，則x工作得很好」。
例2 用h（x，y）表示「x比y長得高」。設l表示李四，c表示張三。
則┓h（l，c）表示「李四不比張三長得高」。┓h（l，c）∧h（c，l）表示「李四
不比張三長得高」且「張三不比李四長得高」即「張三與李四同樣高」。
例3 設q（x，y）表示「x比y重」，當x，y指人或物時，它是乙個命題，但若x，y指
實數時，q（x，y）就不是乙個命題。
命題函式不是乙個命題，只有客體變元取特定名稱時，才能成為乙個命題。但是客體
變元在哪些範圍內取特定的植，對是否成為命題及命題的真值極有影響。
例4 r（x）表示「x是大學生」，如果x的討論範圍為某大學裡班級中的學生，則r（x）
是永真式。
如果x的討論範圍為某中學裡班級中的學生，則r（x）是永假式。
如果x的討論範圍為乙個劇場中的觀眾，觀眾中有大學生也有非大學生，那麼，對某些
觀眾，r（x）為真，對另一些觀眾，r（x）為假。
例5 （p（x，y）∧p（y，z））→p（x，z）
若p（x，y）解釋為「x小於y」，當x，y，z都在實數域中取值，則這個式子表示為：
「若x小於y且y小於z，則x小於y」。這是乙個永真式。
如果p（x，y）解釋為「x為y的兒子」，當x，y，z都指人，則「若x為y的兒子且y是
z的兒子則x是z的兒子」。這個式子表達的是乙個永假公式。
如果p（x，y）解釋為「x距離y 10公尺
」，若x
，y，z表示地面上的房子，那麼「x距
離y 10公尺
且y距離z 10公尺
則x距離z 10公尺
」。這個命題的真值將由x
，y，z的具體
位置而定，它可能為t，也可能為f。
從上述兩例可以看到，命題函式確定為命題，與客體變元的論述範圍有關。在命題函
數中，客體變元的論述範圍稱作個體域。個體域可以是有限的，也可以是無限的，把
各種個體域綜合在一起作為論述範圍的域稱全總個體域。
使用上面所講的一些概念，還不能用符號很好的表達日常生活中的各種命題。例如：
s（x）表示x是大學生，而x的個體域為某單位的職工。那麼s（x）可以表示某單位
職工都是大學生，也可以表示某單位存在一些職工是大學生。為了避免這種理解上的
混亂，因此需要引入量詞，以刻劃「所有的」和「存在一些」的不同概念。
例如（a）所有的人都是要呼吸的。
（b）每個學生都要參加考試。
（c）任何整數或是正的或是負的。
這三個例子都需要表示「對所有的x」這樣的概念，為此，引入符號（∨x）或（x），
表示「對所有的x」。
若設m（x）：x是人，h（x）：x要呼吸。
p（x）：x是學生，q（x）：x要參加考試。
i（x）：x是整數，r（x）：x是正數，n（x）：x是負數。
則上述三例就記為：
（a）（∨x）（m（x）→h（x））
（b）（∨x）（p（x）→q（x））
（c）（∨x）（i（x）→（r（x）∨n（x）））
符號「∨x」稱為全稱量詞，用來表示「對所有的」「每乙個」「對任何乙個」等。
另外還有一類量詞記作（ヨx），表示「存在一些x」。
例如 （a）存在乙個數是質數。
（b）一些人是聰明的。
（c）有些人早飯吃麵包。
設p（x）：x是質數。
m（x）：x是人。
r（x）：x是聰明的。
e（x）：x早飯吃麵包。
則上述三例可表示為：
（a）（ヨx）（p（x））
（b）（ヨx）（m（x）∧r（x））
（c）（ヨx）（m（x）∧e（x））
符號「ヨ」稱為存在量詞，可用來表達「存在一些」「至少有乙個」「對於一些」等。
全稱量詞與存在量詞統稱為量詞，在上述有關量詞的例子中可以看出，每個由量詞確定
的表示式，都與個體域有關。例如：（∨x）（m（x）→h（x））表示所有的人都要呼吸
，如果把個體域限制在「人類」這個範圍內，那麼亦可簡單地表示為（∨x）（h（x））
。在這個例子中指定論域，不僅與表達形式有關，而且不同的指定論域會有不同的問題真
值。如設論域為「人類」則這個命題的真值為t，如果論域為自然數，則命題的真值為f。
為此，在討論帶有量詞的命題函式時，必須確定其個體域。為了方便，我們將所有命題函
數的個體域全部統一，使用全總個體域。用了這個全總個體域後，對每乙個客體變元的變
化範圍，用特性謂詞加以限制。一般地，對全稱量詞，此特性謂詞常作蘊含的前件，對存
在量詞，此特性謂詞常作合取項。例如：在全總個體域中（∨x）（h（x））可寫成（∨x）
（m（x）→h（x）），其中m（x）為h（x）的特性謂詞。對（ヨx）（h（x））可寫成
（ヨx）（m（x）∧h（x）），特性謂詞m（x）限定了h（x）中變元的範圍。
離散數學 第二章 謂詞邏輯 2 2 命題函式與量詞
為了說明命題函式的概念，下面先舉例解釋命題與謂詞的關係。設h是謂詞 能夠到達山頂 l表示客體名稱李四，t表示老虎，c表示汽車，那麼h l h t h c 等分別表示各個不同的命題，但他們有乙個共同的形式，即h x 當x分別取l，t，c時就表示 李四能夠到達山頂 老虎能夠到達山頂 汽車能 夠到達山頂 ...
離散數學 第二章 謂詞邏輯 2 3謂詞公式與翻譯
無標題文件 我們知道，簡單命題函式與邏輯聯結詞可以組合成一些謂詞表示式。有了謂詞與量詞的概念，謂詞表示式所能刻劃的日常命題就能廣泛而深入得多了。但是，怎樣的謂詞表示式才能成為謂詞公式並能進行謂詞演算呢？下面先介紹謂詞的合式公式。我們把a x1 x2，xn 稱作謂詞演算的原子公式，其中x1 x2，xn...
離散數學 命題邏輯
命題 具有真假意義的陳述句 原子命題 不能再分解的命題 命題的真值 t f 或 1 0 注 自指謂 的陳述句不算命題，因為其往往真假矛盾 命題識別符號 原子命題一般用大寫字母或帶下標的大寫字母表示，該符號稱為命題符 聯結詞原子命題可以通過聯結詞構成復合命題，聯結詞有5種 否定聯結詞 讀作 非 也記作...