離散數學（第二版） 第一章 第二章習題

第二章習題二

判斷下面一段論述是否為真：「 π是無理數．並且如果3是無理數，則 2

\sqrt 2

2​另外 只有 6 能被 2 整除 ，6 才能被 4 整除．」

解答：

命題符號化為：p∧(q→r)∧(t→s)的真值為1，所以這一段的論述為真。

（格式醜字醜，見諒）由於是第一章節習題所以使用真值表進行計算

設a,b都是含命題變項p1,p2,…pn的公式,已知a∨b是矛盾式,證明當且僅當a與b都是矛盾式。

定義 2.10 設g為公式:

(1) 如果g在所有解釋下都是真的，則稱g是恆真式(或稱g是重言式，永真式);

(2) 如果g在所有解釋下都是假的，則稱g是恆假式(或稱g是矛盾式，永假式);

(3) 如果g不是恆假的，則稱g是可滿足式。

注意：(1) 恆真公式的真值表的最後一列全為1，恆假公式的最後一列全為0，可滿足公式的最後一列至少有乙個1。

(2) 恆真公式一定是可滿足的，可滿足的不一定是恆真的。

7、15、29、33

定義2.5

所有簡單合取式，都是極小項的析取正規化，稱為主析取正規化。

所有簡單析取式，都是極大項的合取正規化，稱為主合取正規化。

定理2.3（正規化存在定理）

任何命題公式都存在與之等值的析取正規化與合取正規化。

對主析取正規化主合取正規化求解不太理解的可以看看下面這個例子

這裡是解答

⇔(p∧q∧(¬r∨r))∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 補項。

⇔((p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r))∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 分配律。

⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 結合律。

⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∧(¬q∨q)∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r)) 分配律。

⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧(¬q∨q)∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r) 結合律。

⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r))∨(p∧(¬q∨q)∧r) 分配律。

⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r) 結合。

⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨((p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r)) 分配律。

⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) 結合律。

⇔(p∧q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) 等冪律。

m1∨m3∨m5∨m6∨m7 主析取式

m0∧m2∧m4主合取式

(2)

這裡是解答

⇔ (¬p∨q)∧(¬q∨r)

⇔ (¬p∨q∨(¬r∧r))∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 補項

⇔ ((¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r))∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 分配律

⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 結合律

⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧((¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r)) 分配律

⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r) 結合律

m1∧m2∧m3∧m5 主合取式

m0∨m4∨m6∨m7 主析取式

(2) ┐(p∧q)與┐(p∨q)

因為任何命題公式的主析取正規化都是唯一的，因而a與b等值，當且僅當a與b有相同的主析取正規化和主合取正規化．

設a= (p→q)→r，b=q→(p→r)

求解 a、b、c、d的主析取正規化。

a=(p→q)→r

⇔(p∧┐q)∨r

⇔((p∧┐q)∧(r∨┐r))∨(r∧(p∨┐p)∧(q∨┐q)))

⇔(p∧┐q∧r)∨(p∧┐q┐r)∨((r∧p)∨(r∧┐p))∧(q∨┐q))

⇔(p∧┐q∧r)∨(p∧┐q┐r)∨(r∧p∧q)∨(r∧p∧┐q)∨ (r∧┐p∧q)∨(r∧┐p∧┐q)

⇔(p∧┐q∧r)∨(p∧┐q┐r)∨(p∧q∧r)∨(p∧┐q ∧r)∨ (┐p∧q ∧r)∨(┐p∧┐q∧r)(上式整理後)

⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m7

b=q→(p→r)

⇔￢q∨￢p∨r

⇔￢p∨￢q∨r

⇔m6⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7

(1)(p→q)→r與q→(p→r)不等值

甲說：王小紅為班長，李強為生活委員．

乙說：丁金生為班長，王小紅為生活委員

丙說：李強為班長，王小紅為學習委員．

班委會分工名單公布後發現，甲 、乙，丙 三人都恰好猜對了一半． 問：王小紅、李強、 金生各任何職（用等值等演求解）？

設命題

a:王小紅為班長

b:李強為生活委員

c:丁金生為班長

d:王小紅為生活委員

e:李強為班長

f:王小紅為學習委員

則a,b當中有且只有1個為真, 即a∧b=f，a∨b=t

c,d當中有且只有1個為真, 即c∧d=f，c∨d=t

e,f當中有且只有1個為真, 即e∧f=f，e∨f=t

又因為a,d,f三個命題當中，有且只有1個為真（王小紅只有1個職務），即

(a∧c∧e)∨(b∧d∧e)∨(b∧c∧f)=t ① （列舉3種情況，然後析取）

而b,d不可能同時為真（生活委員只有1個），即b∧d=f

則根據①，化簡得

(a∧c∧e)∨(b∧c∧f)=t ②

而a,c,e三個命題當中，也有且只有1個為真（班長只有1個），即

a∧c∧e=f，代入②，得到

b∧c∧f=t

從而b=c=f=t

即李強為生活委員，

丁金生為班長，

王小紅為學習委員

(2)(p∨q)∧(p∨┐q)∧(┐p∨r)

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