謂詞：表示個體詞性質或相互之間關係的詞
量詞：用來表示個體數量的詞是
謂詞的量化：給謂詞加上量詞
一元目謂詞p(x)、n元目謂詞p(x, y, z, ...)它們是命題形式而非命題
因為既沒有指定謂詞符號p的含義，而且個體詞x、y等也是個體變項而不代表某個具體的事物，從而無法確定p(x)、p(x, y)的真值。
僅當賦予謂詞確定含義，並且個體詞取定為個體常項而非個體變項時，命題形式才化為命題。
設a為乙個謂詞公式，若a在任何解釋下真值均為真，則稱a為普遍有效的公式/邏輯有效式。例如(∀x) (p(x)∨┐p(x))
若a在任何解釋下真值均為假，則稱a為不可滿足的公式/矛盾式，例如(∀x)p(x)∧(∃y) ┐p(y)
若至少存在乙個解釋使a為真，則稱a為可滿足的公式
church-turing定理：對任一謂詞公式而言，沒有乙個可行的方法判明它是否是普遍有效的。即謂詞邏輯是不可判定的
但是謂詞公式的某些子類是可判定的
命題公式 p→q 的代換例項：如p(y)→q(z)、(∀x)p(x)→(∃x)q(x)般用謂詞公式處處代替各個命題變項
命題公式中，重言式的代換例項都是邏輯有效式、矛盾式的代換例項都是矛盾式。
存在唯一的偶素數：∃x(prime(x)∧even(x))∧(∀y)(prime(y)∧even(y)→equal(x, y))
g(x)表示x是金子、l(x)表示x會閃光：(∀x)(g(x)→l(x))∧(∃x)(l(x)∧┐g(x))
f(x)表示x是烏鴉、g(x, y)表示x與y一般黑：
(∀x)(∀y)(f(x)∧f(y)→g(x , y))
⟺(∀x)(∀y)(┐(f(x)∧f(y))∨g(x , y))
⟺(∀x)(∀y)┐((f(x)∧f(y))∧┐g(x , y))
⟺(∀x)┐(∃y)((f(x)∧f(y))∧┐g(x , y))
⟺┐(∃x)(∀y)((f(x)∧f(y))∧┐g(x , y))
∃x even(x) ∧ ∃x odd(x) 和∃x (even(x)∧odd(x))不等價，前者表示存在乙個正奇數也存在乙個正偶數，後者表示存在乙個數既是正奇數又是正偶數
∀x even(x) ∨ ∀x odd(x) 和∀x (even(x)∨odd(x))不等價，前者表示所有數都是正偶數，或者所有數都是正奇數
後者表示所有數都是正奇數或正偶數
⭐️∀x∃ygreater(y, x) 和∃y∀xgreater(y, x)，前者表示對於任乙個正整數而言，都存在比它大的正整數
後者表示存在乙個正整數，大於任何正整數
設論域 d= 是有限集合，則有(∀x)a(x)⟺a(a1)∧a(a2)∧…∧a(am) 、(∃x)a(x)⟺a(a1)∨a(a2)∨…∨a(am)
量詞否定等值式/德摩根律：┐(∀x)a(x)⟺(∃x)┐a(x)、┐(∃x)a(x)⟺(∀x)┐a(x)
量詞轄域收縮與擴張等值式：∀/∃x(a(x)∨/∧b)⟺∀/∃x(a(x))∨/∧b
量詞分配等值式：∀x(a(x)∧b(x))⟺∀xa(x)∧∀xb(x)、∃x(a(x)∨b(x))⟺ ∃xa(x)∨∃xb(x)
例題：∃x(p(x)→q(x))
⟺∃x(┐p(x)∨q(x))
⟺∃x┐p(x)∨∃xq(x)
⟺┐∀xp(x)∨∃xq(x)
⟺∀xp(x)→∃xq(x)
反駁：要證明∀x(p(x)→q(x))為假的辦法
┐∀x(p(x)→q(x))
⟺∃x(p(x)∧┐q(x))
就是要找到某個x，使得p(x)為真的同時q(x)為假
所有量詞都位於該公式的最左邊：∀xp(x)∨∀xq(x)不是
所有量詞前都不含否定詞：┐∀xp(x , y)不是
量詞的轄域都延伸到整個公式的末端：∀x(p(x)→q(x))∨r(z)不是
┐((∀x)(∃y)p(a, x, y)→(∃x)(┐(∀y)q(y, b)→r(x)))
（1）消去→
⟺┐(┐(∀x)(∃y)p(a, x, y)∨(∃x)(┐┐(∀y)q(y, b)∨r(x)))
（2）┐右移
⟺(∀x)(∃y)p(a, x, y)∧┐(∃x)((∀y)q(y, b)∨r(x)))
⟺(∀x)(∃y)p(a, x, y)∧(∀x)(┐(∀y)q(y, b)∧┐r(x)))
⟺(∀x)(∃y)p(a, x, y)∧(∀x)((∃y)┐q(y, b)∧┐r(x)))
（3）量詞左移
⟺(∀x)((∃y)p(a, x, y)∧((∃y)┐q(y, b)∧┐r(x)))
⟺(∀x)(∃y)(∃z)(p(a, x, y)∧┐q(z, b)∧┐r(x)))
⟺(∀x)(∃y)(∃z)m(a, b, x, y, z)
∀xf(x)∧∀yg(y)⟹∀xf(x)
∀xf(x)⟹∀xf(x)∨∀yg(y)
∀xa(x)∨∀xb(x)⟹∀x(a(x)∨b(x))
∃x(a(x)∧b(x))⟹∃xa(x)∧∃xb(x)
∀x(a(x)→b(x))⟹∀xa(x)→∀xb(x)以及∃xa(x)→∃xb(x)
p(y)⟹∀xp(x)，其中y是論域中任意個體
意指如果任意個體y∈d都具有性質p，那麼d中所有個體x都具有性質p。
該規則使用的條件是： 無論p(y)中自由出現的個體變項y取何值，p(y)應該為真；取代自由出現的y的x不能在p(y)中約束出現
例如(∃x)g(x, y)對任意給定的y都成立，不能通過全稱量詞引入變為(∀x)(∃x)g(x, x)
∀xp(x)⟹p(y)，其中y是論域中乙個體
意指如果所有的x∈d都具有性質p，那麼d中任乙個體y必具有性質p
該規則使用的條件是：取代x的y應為任意的不在p(x)中約束出現的個體變項；用y取代p(x)中自由出現的x時，必須在x自由出現的一切地方進行取代
例如(∀x)(∃y)g(x, y)不能通過全稱量詞消去變為(∃y)g(y, y)
p(a)⟹(∃x)p(x)，其中a是論域中乙個體常項。
意指如果有個體常項a具有性質p，那麼(∃x)p(x)必真。
該規則使用的條件是： a是特定的個體常項 ；取代a的x不在p(a)**現過
(∃x)p(x)⟹p(a)，其中a是論域中的乙個個體常項。
意指如果論域d中存在某個體具有性質p，那麼必有特定個體a具有該性質p。
該規則使用的條件是：a是使p為真的特定的個體常項；a不在p(x)**現；p(x)中沒有其它自由出現的個體變項；a是在推導中未曾使用過的
⭐例如(∃y)g(x, y)不能通過存在量詞消去變為g(x, a)，因為哪個個體使其成立依賴於x，不是所有x都有同乙個a使得g(x, a)成立
例題：（1）(∃x)q(x) （前提引入）
（2）(∃x)~q(x) （前提引入）
（3）q(a) （對(1)的存在量詞消去）
（4）┐q(a) （對(2)的存在量詞消去）
（5）q(a)∧┐q(a) （(3)(4)合取）
（6）(∃x)(q(x)∧┐q(x)) （存在量詞引入）
錯誤之處：（4）中做的是存在量詞消去，a必須是在推導中未曾使用過的
例題：（1）(∀x)(p(x)→q(x)) （前提引入）
（2） (∃x)p(x) （前提引入）
（3）p(c)→q(c) （對(1)的全稱量詞消去）
（4）p(c) （對(2)的存在量詞消去）
（5）q(c) （(3)(4)假言推理）
（6）(∃x)q(x) （存在量詞引入）
錯誤之處：(4)中使p(c)成立的c不一定就是(3)中使p(c)→q(c) 成立的c
把(3)和(4)調換順序即可，全稱量詞消去時c可以任意取
例題：∃xp(x)→∀xq(x)，求證∀x(p(x)→q(x))
證明：首先需要化為前束正規化以及進行置換
⟺┐∃xp(x)∨∀xq(x)
⟺∀x┐p(x)∨∀xq(x)
⟺∀x┐p(x)∨∀yq(y)
⟺∀x∀y(p(x)→q(y))
全稱量詞消去得∀y(p(z)→q(y))，其中z是論域中任意個體
全稱量詞消去得p(z)→q(z)，其中z是論域中任意個體
全稱量詞引入得∀x(p(x)→q(x))
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