動態規劃之最長公共子串行

這個世界上根本就不存在「不會做」這回事，當你失去了所有的依靠的時候，自然就什麼都會了。

最長公共子串行的問題常用於解決字串的相似度，是乙個非常實用的演算法，作為碼農，此演算法是我們的必備基本功。最長公共子串（longest common substirng）和最長公共子串行（longest common subsequence，lcs）的區別為：子串是串的乙個連續的部分，子串行則是從不改變序列的順序，而從序列中去掉任意的元素而獲得新的序列；也就是說，子串中字元的位置必須是連續的，子串行則可以不必連續。

問題描述: 字串行的子串行是指從給定字串行中隨意地（不一定連續）去掉若干個字元（可能乙個也不去掉）後所形成的字串行。令給定的字串行x=「x0，x1，…，xm-1」，序列y=「y0，y1，…，yk-1」是x的子串行，存在x的乙個嚴格遞增下標序列

2.1 刻畫最長公共子串行的最優子結構的特徵

如果使用暴力搜尋求解lcs問題，需要窮舉x的所有子串行，對每乙個子串行檢查它是否是y的子串行，記錄找到的最長的子串行。x的每個子串行對應的x的下標集合是(1

,2,3

,...

..m)

的乙個子集，所以有2m

個子序列。但是最長公共子串行有最優子結構的性質。子問題的自然分類對應兩個輸入序列的「字首」對。

定理：考慮最長公共子串行問題如何分解成子問題，設a=「a1，…，am」，b=「b1，…，bn」，並z=「z1，…，zk」為它們的最長公共子串行。不難證明有以下性質：

（1）如果am=bn，則zk=am=bn，且「z1，…，zk-1」是「a1，…，am-1」和「b1，…，bn-1」的乙個最長公共子串行；

（2）如果am!=bn，則若zk!=am，蘊涵「z1，…，zk」是「a1，…，am-1」和「b1，…，bn」的乙個最長公共子串行；

（3）如果am!=bn，則若zk!=bn，蘊涵「z1，…，zk」是「a1，…，am」和「b1，…，bn-1」的乙個最長公共子串行。

上面的定理告訴我們：兩個序列的lcs包含兩個序列字首的lcs，因此lcs問題具有最優子結構的性質。

2.2 構建遞迴解

通過上面的定理我們可以發現在求a=

「a1，

…，am

」，b=

「b1，

…，bn

」的乙個公共的lcs的時候我們需要求解乙個到兩個子問題。、

如果am=bn，我們應該求am

−1和b

n−1的lcs；

如果am!=bn，若zk!=am，我們應該求am

−1和b

n的lcs。如果am!=bn，則若zk!=bn，我們應該求am

和bn−

1的lcs。兩者lcs比較長的稱為a和b的lcs。

我們可以很容易的發現子問題重疊的性質。在求a和b的lcs的過程中，我們的2種情況，都存在am

−1和b

n−1的lcs的重疊子問題。設計lcs的遞迴演算法首先需要建立最優解的遞迴式，c[i,j]表示ai和bj的lcs長度，如果i=j=0,那麼c[i,j]=0.根據lcs問題最優子結構的性質得出以下公式： c[

i,j]

=⎧⎩⎨

0c[i

−1,j

−1]+

1max

(c[i

,j−1

],c[

i−1,

j])若

i=0或

者j=0

若i,j>0

且ai = bj

若i,j>0

且ai!=bj

在上面的問題中我們通過限制條件限定了需要求解哪些子問題。在前面的演算法中我們沒有限定排除任何子問題，在這裡我們需要根據限制條件排除相應的子問題。

2.3 計算lcs的長度（求最優解）

根據2.2的遞迴公式，我們可以很痛以的寫出乙個指數時間的遞迴演算法。但是，由於lcs問題只有θ(

mn)個不同的子問題，我們可以使用dp來自底向上的計算。

演算法偽**：

lcs-length(x,y)
for(j=0 to n)
/**i是行 j是列
*/for(i=1 to m)
elseif(c[i-1,j]>=c[i,j-1])else}}
return c and b;
}

2.4 構造lcs（構造最優解）

我們可以使用輔助表b來快速構造x和y的lcs，只需要從b[m,n]開始按照箭頭的方向追蹤即可.遞迴演算法如下：

print_lcs(x,b,i,j)
if(b[i,j]=="\")else
if(b[i,j]=="|")else
}

演算法實現類

package lbz.ch15.dp.ins3;
/** *@author lbzhang
*@description 最大公共子串行
*/public
class
lcs 
for (j = 0; j <= n; j++) 
for (i = 1; i <= m; i++)  else
if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])  else }}
return c;
}/**
* 為了輸出最長公共子串行，改進的輸出
*@param x
*@param y
*@return
*/public
static
char lcsprint(object x, object y) 
for (j = 0; j <= n; j++) 
for (i = 1; i <= m; i++)  else
if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])  else }}
return b;
}// ///print the lcs
// //採用遞迴的方式將結果列印出來
public
static
void
printlcs(int c, object x, object y, int i, int j) 
if (x[i - 1].equals(y[j - 1]))  else
if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])  else 
}public
static
void
printbysignallcs(char b, object x, int i, int j) 
if (b[i][j]=='\\')  else
if (b[i][j]=='|')  else }}

測試類

package lbz.ch15.dp.ins3;
/** 
*@author lbzhang
*@description 最長公共子串行測試類
*/public
class
test , 
y = ;
integer a = , b = ;
int c;
char p;
c = lcs.lcslength(x, y);
//p=lcs.lcsprint(x, y);
lcs.printlcs(c, x, y, 29, 28);
system.out.println();
c = lcs.lcslength(a, b);//二維表
lcs.printlcs(c, a, b, 8, 8);
system.out.println();
system.out.println("--------******改進******---------");
p=lcs.lcsprint(x, y);
lcs.printbysignallcs(p, x, 29, 28);
system.out.println();
p=lcs.lcsprint(a, b);
lcs.printbysignallcs(p, a, 8, 8);}}

實驗結果

動態規劃之最長公共子串行

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