動態規劃之最長公共子串行

給出兩個字串，求出這樣的一

個最長的公共子串行的長度：子串行

中的每個字元都能在兩個原串中找到，

而且每個字元的先後順序和原串中的

先後順序一致。

sample input:

abcfbc abfcab

programming contest

abcd mnp

sample output:

4 2

0對於動態規劃的問題，最重要的一步就是找出狀態轉移方程。那麼最長公共子串行的狀態方程是什麼呢？我們來分析分析。

假設有兩個字串a和b：a串為a1 a2 a3 … am; b串為b1 b2 b3 …bn。

ax為從a1開始到ax的連續字串，by為從b1開始到by的連續字串

假設l[x][y]為ax和by的最長公共子串的長度。

那麼，我們很容易得出：

如果ax==by，則l[x][y] = l[x-1][y-1] + 1。

如果ax和by不相等呢？那麼l[x][y]就等於l[x][y-1]和l[x-1][y]中更大的那乙個。具體是哪個呢？我們不必知道。因為已經有了當前狀態與之前狀態的關係，我們只需要給出最初狀態，計算機就可以幫我們一步一步計算出結果。

容易想到：當x==0 || y==0 時，l[x][y] = 0 即當字串a的長度為0或者字串b的長度為0時，最長公共子串行的長度必然為0（空字串）。

據此，就可以寫出最長公共子串行的狀態轉移方程：

有了狀態轉移方程，求出最長公共子串行的長度輕而易舉。

那麼我們怎麼求出最長公共子串行本身呢？答案其實也在狀態轉移方程中：我們把l想象成乙個二維陣列，當ax等於by時，l[x][y]只有一條路可以走：l[x-1][y-1] + 1。

所以只要當l[x][y]的值比l[x-1][y-1]大，我們就可以知道此時ax等於by。既然ax等於by了，那此時的ax和by一定是字串a和字串b的公共元素，也是最長子序列的公共元素。自然，最長子序列中包含它們了。如果不是走上面的路，那麼l[x][y] 的值就是l[x-1][y] 與l[x][y-1]中較大的那個，此時ax不等於by。所以我們只需要比較l[x-1][y] 與l[x][y-1]，較大的就是l[x][y]來時的路。就這樣，根據狀態轉移方程和計算出的二維陣列l，就可以倒推出最長公共子串行的所有元素的逆序。

值得注意的一點就是：當l[x][y] = max(l[x-1][y], l[x][y-1]) 時，我們只用了l[x-1][y] 與 l[x][y-1] 中較大的那個。如果它倆相等呢？如果相等的話，我們推出來的二維陣列l的結果不會變化；但是我們倒推出的最長公共子串行就不一樣了：

我們在選擇l[x][y] = l[x-1][y]或者選擇l[x][y] = l[x][y-1]，對於乙個二維陣列l而言，肯定是兩條不一樣的路徑。所以最長公共子串行的序列不一定只有乙個，或者是乙個，或者是2個，或者是4個…

**如下：

#include
#include
#include
#define max 10000
struct data;
typedef
struct datas datas;
int l[max][max];
int my_max(int a, int b)
int lcs(char a, char b, int m, int n)
else}}
for(i = 0; i<=m; i++)
printf("\n");
}printf("\n");
return l[m][n];
}int main()
}else
}else
fclose(fp);
}else
for(i = 0; ii; i++)
else
if (l[m][n] == l[m-1][n])
else n--;
}printf("\n\n\n");
}free(datas);
return
0;}

ps: 最近複習了檔案讀取和柔性陣列，為了鞏固知識，就在解最長公共子串行的時候加上了它們。

**中用的檔案「data.txt」，放在該c檔案的相同目錄下。以下是data.txt中的內容

4 abcfbc abfcab 13456778 357486782 abcd mnp97862641 8761

動態規劃之最長公共子串行

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