求有多少種長度為 n 的序列 a，滿足以下條件：
1 ~ n 這 n 個數在序列中各出現了一次
若第 i 個數 a[i] 的值為 i，則稱 i 是穩定的。序列恰好有 m 個數是穩定的
滿足條件的序列可能很多，序列數對 109+7取模。
輸入格式：
第一行乙個數 t，表示有 t 組資料。
接下來 t 行，每行兩個整數 n、m。
輸出格式：
輸出 t 行，每行乙個數，表示求出的序列數
輸入樣例#1：
51 01 1
5 2100 50
10000 5000
輸出樣例#1：
0120578028887
60695423
測試點 1 ~ 3： t=1000，n≤8，m≤8；
測試點 4 ~ 6： t=1000，n≤12，m≤12；
測試點 7 ~ 9： t=1000，n≤100，m≤100；
測試點 10 ~ 12：t=1000，n≤1000，m≤1000；
測試點 13 ~ 14：t=500000，n≤1000，m≤1000；
測試點 15 ~ 20：t=500000，n≤1000000，m≤1000000。
solution：
本題組合數學+錯排公式+線推逆元。
組合數學和逆元就不說了，介紹下錯位排列。
錯位排列，顧名思義就是乙個n元排列，每個元素不能排在自己的位置上的方案數，一般記作$d(n)$。
通項公式：
$$d_n=n!\times(1-\frac+\frac-\frac…\frac)$$
證明：設$s$是由$1,2,…n$構成的所有全排列組成的集合，則$|s|=n!$。
設$a_i$是在$1,2,…n$的所有排列種由第$i$個位置上的元素恰好是$i$的所有排列組成的集合，則有：$|a_i|=(n-1)!$。
同理可得：$|a_i\cap a_j|=(n-2)!$
……一般情況下有：$|a_\cap a_\cap …\cap a_|=(n-k)!$。
因為$d_n$是$s$中不滿足性質$p_1,p_2,…,p_n$的元素個數，所以由容斥原理的：
$d_n=|\overline a_1\cap \overline a_2 …\cap \overline a_n|$
$=n!-c(n,1)*(n-1)!+c(n,2)*(n-2)!-…(-1)^nc(n,n)*0!$
$=n!\times(1-\frac+\frac-…\frac)$
遞推公式：
$$d_n=(n-1)\times(d_+d_)$$
證明：第一步，把第$n$個元素放在乙個位置，比如位置$k$，一共有$n-1$種方法；
第二步，放編號為$k$的元素，這時有兩種情況：(1)把它固定到位置$n$，由於第$n$個元素固定到了位置$k$，剩下$n-2$個元素就有$d_$種方法；(2)
第$k$個元素不能放到位置$n$，而第$n$個元素固定到了位置$k$，於是$n-1$個元素，有$d_$種方法；
綜上得到$d_n = (n-1) \times(d_ + d_)$，特殊地，$d_1=0, d_2=1$。
當然更為常用的是後面的遞推公式，比如本題。
不難發現本題答案為$c(n,m)\times d(n-m)$。
於是我們只要預處理出$10^6$內的階乘取模、階乘的逆元、錯排的方案數就好了。
**：
/*code by 520 -- 9.14
*/#include
#define il inline
#define ll long long
#define re register
#define for(i,a,b) for(re int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define bor(i,a,b) for(re int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using
namespace
std;
const ll n=1000005,mod=1e9+7
;int
n,m;
ll d[n],c[n],inv[n];
intgi()
il void
pre()
intmain()
return0;
}
題解 P4071 SDOI2016 排列計數
題目鏈結 題目大意 問有多少個 1 n 的排列 a 恰好有 m 個數滿足 a i i 錯排，計數 分析 首先我們選 m 個數有 c n m 種，那麼我們要求答案合法就必須使得剩下的數都不滿足 a i i 也就是我們要求 n m 個數錯排的方案數，假設 d n 表示 n 個數錯排的方案數，我們的答案就...
洛谷 P4071 SDOI2016 排列計數
簡化版題意 1 n n個數字，問滿足m個ai i的排列個數 答案對1e9 7取模 這題就是道裸題，不知道為啥還能是藍的 前置技能一 快速冪 太簡單了不講了 這週和矩陣的知識點一起寫 前置技能二 錯排公式 顧名思義錯排就是ai i的排列個數，高中應該都學過 下面是推理過程 我們設f n 代表n個數的錯...
洛谷 4071 SDOI2016 排列計數
題目描述 求有多少種長度為 n 的序列 a，滿足以下條件 1 n 這 n 個數在序列中各出現了一次 若第 i 個數 a i 的值為 i，則稱 i 是穩定的。序列恰好有 m 個數是穩定的 滿足條件的序列可能很多，序列數對 109 7 10 9 7 109 7 取模。輸入格式 第一行乙個數 t，表示有 ...