額，前兩天剛講了資料結構，今天我來講講組合數學中的一種奇妙優化——lucas
先看這樣乙個東西
沒學過lucas的肯定會說：還不簡單？處理逆元，邊乘邊膜唄
是，可以，但注意一下資料範圍
你算這一次，你需要跑25000下
那麼你如果求c199999 1~c199999 52222 呢？
你會發現你的複雜度上天了
所以我們會用到乙個神奇的定理：lucas定理
定理內容如下：
lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p,p)
不好玩，是嗎？
那麼我來證明一下
由二項式定理可得，cmn等於（x+1）^m中n次項的係數
那麼我們按lucas展開
原式=(x+1)^(p^k*ak)*(x+1)^(p^(k-1)*a(k-1))*……*(x+1)^(p*a1)+(x+1)^(1*a0)
=[(x+1)^(p^k)]^ak……
由費馬小定理可知，其%p後可轉化為 (x+1)^ak*(x+1)^a(k-1)*……*(x+1)^a1*(x+1)^a0
原題轉化為求上式的n次項的係數
同理，由於每一項已經消去了p^k次方 故即求每一項中的bk次項係數 即為lucas
以前的組合數，我們一位一位地算（累死了）
現在的組合數，我們只用算%p出來的（這不就是log p m次嗎？）
o(n)到o（logn）
大有長進啊
大家應該都會
下面看幾道好題
裸的板子，不說什麼
帶了預處理階乘的lucas
lucas合併
禮物，古代豬文
擴充套件lucas
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