對著無數篇部落格終於\(yy\)懂了\(lucas\)定理，興奮之際趕緊寫下來
如果\(p\)是質數，那麼\(c_^\equiv c_^\times c_^(mod\ p)\)
首先我們要知道乙個性質：
如果\(p\)為質數，那麼有\(c_^\equiv 0(mod\ p)\)，其中\(n\ne 0,p\)
這個很顯然吧，考慮把組合數的式子寫出來：\(c_p^n=\frac\)
把\(p\)提出來就變成了\(\frac\times p\)，就證完了
這個性質有什麼用呢？別著急，我們先往下走
由二項式定理得：\((x+1)^p=\sum _^c_p^i\times x^i\)
而根據上面的性質，因為\(n\)只有在等於\(0\)或\(p\)時才為\(1\)，其餘時都為\(0\)得到在模\(p\)意義下
\[(x+1)^p\equiv x^p+1(mod\ p)
\]設\(n=\left \lfloor \frac \right \rfloor\times p+n\ mod \ p\)
那麼可得\((x+1)^n\equiv (x+1)^ \right \rfloor\times p}+(x+1)^(mod\ p)\)
替換得\((x+1)^n\equiv (x^p+1)^ \right \rfloor}+(x+1)^(mod\ p)\)
根據二項式定理，展開得
\[\sum_^c_n^i\times x^i\equiv \sum_^ \right \rfloor}c_ \right \rfloor}^j\times x^j+\sum_^c_^\times x^k(mod\ p)
\]觀察這個式子，我們發現對於每乙個\(i\)，都一定存在\(j,k\)與其對應，保證\(x^i=x^j\times x^k\)，約掉之後就是\(lucas\)了
證畢**很好寫，丟下板子題**qaq
#include #include #define int long long
using namespace std;
int t,m,n,p;
int mypow(int a,int x)
return s;
}int c(int m,int n)
int lucas(int m,int n)
signed main()
{ cin>>t;
while (t--)
{ cin>>n>>m>>p;
cout《擴充套件\(lucas\)感覺實際用途比較少，而且複雜度可能不太對，就不放了
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