《程式設計之美》一書上有一道題：給定乙個由n個整數元素組成陣列a，寫乙個函式在其中找出連續子陣列和的最大值。例如給定陣列為，則和最大的連續子陣列是，函式返回值是9。
這是一道典型的動態規劃問題，書中循序漸進地通過分析給出了乙個時間複雜度為o(n)空間複雜度為o(1)的最優解。我在面試時碰到了這道題的一道有趣變體，即同樣給定乙個陣列，寫乙個在其中找出不連續子陣列和的最大值，也就是說子陣列裡的任意相鄰的兩個元素，在原陣列裡都必須是不相鄰的才行。同樣以陣列為例，則和最大的不連續子陣列是，函式返回值是8。
顯然，最直接的思路我們可以採用窮舉法，對於此類尋找符合條件的子陣列的問題，無非就是對原陣列上每位元素是否屬於子陣列做一次遍歷判斷。由於每位元素都有屬於和不屬於子陣列兩種可能性，那麼窮舉的時間複雜度為o(2^n)。即使考慮「不連續」這個限制條件，即某位元素被選中屬於子陣列後，則其相鄰元素就一定不能被選中，也對時間複雜度的數量級不會有太多影響。因此很明顯，這絕對是個愚蠢的答案……
從《程式設計之美》一題中得到啟發，我們是不是也可以用動態規劃的方法來解這道題呢？假設從原陣列a第i位開始的最大不連續子陣列和為m[ i ]，那麼它的值有兩種可能，一種是當前元素a[ i ]與隔一位上子問題解m[ i+2 ]之和（由不連續性質決定），另一種是不包含當前元素而直接等於前一位上子問題解m[ i+1 ]，那麼我們可以寫出遞推公式為：m[ i ] = max(a[ i ] + m[ i+2 ], m[ i+1 ])。
等等，也許你要說，好像這個遞推式有漏洞啊，因為前一位上的解m[ i+1 ]本身就有可能是包含或不包含a[ i+1 ]，假如m[ i+1 ]不包含a[ i+1 ]，那麼豈不是還要考慮a[ i ]+m[ i+1 ]這種可能性呢？
這個遞推式真的經不起推敲嗎？我們不妨重新整理一下思路：由於原陣列上每一元素都有取與不取兩種可能，那麼也就對應有包含和不包含該元素的兩個子陣列的最大和。對於原陣列a中第i位上的元素，假設包含a[ i ]元素的子陣列最大和為s[ i ]，而不包含元素a[ i ]的子陣列最大和為ns[ i ]，因此所要求的不連續子陣列最大和m[ i ] = max(s[ i ], ns[ i ])。那麼根據題意我們可以整理出遞推關係如下：
s[ i ] = max(a[ i ] + ns[ i+1 ], a[ i ] + m[ i+2 ])
ns[ i ] = m[ i+1 ]
m[ i ] = max(a[ i ] + ns[ i+1 ], a[ i ] + m[ i+2 ], m[ i+1 ])
有趣的地方在於ns[ i ] = m[ i+1 ]這一項上，根據它我們可以得到ns[ i+1 ] = m(i+2)，也就是說假如m[ i+1 ]不包含a[ i+1 ]的話，那麼它一定等於m[ i+2 ]，所以a[ i ]+ns[ i+1 ]等價於a[ i ] + m[ i+2 ]，遞推式m[ i ] = max(a[ i ] + m[ i+2 ], m[ i+1 ])是正確的！
從《程式設計之美》給出的解法中得到啟發，我們也只需要使用兩個變數來記錄m[ i+2 ]和m[ i+1 ]的值就行了，而且同樣只需要o(n)的複雜度就可以解這道題，**如下：
int maxsum(int* a, int n)
return m1;
}
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