設$\alpha$是實數，並設$f:(0,+\infty)\to \mathbf$是函式$f(x):x^$.
a)證明
\begin
\label
\lim_\frac=\alpha
\end
證明:設$(q_n)_^$是有理柯西列，該柯西列的極限是$\alpha$.且$\forall n\in\mathbf}$,$q_n\geq \alpha$(為什麼這可以實現?)設$(p_n)_^$是有理柯西列，該柯西列的極限也為$\alpha$,且$\forall n\in\mathbf}$,$p_n\leq \alpha$(為什麼這可以實現?)
當$x>1$時，顯然$\forall k\in\mathbf}$,
\begin
\label
\frac-1}\leq \frac-1}\leq \frac-1}
\end
因此當$x>1$時，
\begin
\label
\lim_\frac-1}\leq
\lim_\frac-1}\leq \lim_\frac-1}
\end
(為什麼?)
根據《陶哲軒實分析》習題10.4.2，可知$\lim_\frac-1}=p_k$,且$\lim_\frac-1}=q_k$.因此
\begin
\label
p_k\leq \lim_\frac-1}\leq q_k
\end
由於$\lim_p_k=\lim_q_k=\alpha$,因此根據夾逼定理，$\lim_\frac-1}=\alpha$.
當$x<1$時，顯然$\forall k\in\mathbf}$,
\begin
\label
\frac-1}\leq \frac-1}\leq \frac-1}
\end
因此當$x<1$時，
\begin
\label
\lim_\frac-1}\leq \lim_\frac-1}\leq \lim_\frac-1}
\end
(為什麼?)
同樣根據《陶哲軒實分析》習題10.4.2，可知$\lim_\frac-1}=p_k$,且$\lim_\frac-1}=q_k$.因此
\begin
\label
q_k\leq \lim_\frac-1}\leq p_k
\end
由於$\lim_p_k=\lim_q_k=\alpha$.因此根據夾逼定理,$\lim_\frac-1}=\alpha$.
顯然$x\neq 1$.
b)證明$f$在$(0,+\infty)$上可微，且$f'(x)=\alpha x^$.
證明:\begin
\label
\lim_\frac&=\lim_\frac-x_0^}\\&=\lim_\frac[(\frac)^-1]}-1)}\\&=\lim_\to
1}x_0^\frac)^-1}-1}
\end
根據a),可知上式等於$\alpha x_0^$.
《陶哲軒實分析》習題10 4 3
設 alpha 是實數，並設 f 0,infty to mathbf 是函式 f x x a 證明 begin label lim frac alpha end 證明 設 q n 是有理柯西列，該柯西列的極限是 alpha 且 forall n in mathbf q n geq alpha 為什麼...
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...