設$f:\mathbf^2\to \mathbf$是函式，定義如下
\begin
\begin
\frac~~~(x,y)\neq (0,0)\\
0~~~(x,y)=(0,0)\\
\end
\end
證明，儘管$f$在$(0,0)$處沿每個方向$v\in\mathbf^2,v\neq (0,0)$都是可微的，但是它在$(0,0)$處卻是不可微的.
證明：欲證明$f$在$(0,0)$處沿$v$可微，只用證明極限
\begin
\lim_\frac
\end存在
其中$v=(v_1,v_2)$.且$v_1,v_2$中至少有乙個不為0.即證明
\begin
\lim_\frac
\end存在.
即證明\begin
\lim_\frac
\end存在.這是顯然的.
下面，證明$f$在$(0,0)$不可微.因為，假如$f$在$(0,0)$可微，則根據 ，可得
$f$在$(0,0)$的全導數為$(0,0)$.根據導數的定義即
\begin
\lim_\frac=0
\end
即\begin
\lim_\frac}}=0
\end
其中$x=(x',y')$.我們令$y'=x'$,則
\begin
\lim_\frac}}
\end
變為\begin
\lim_\frac^3x'^3}=\frac^3}
\end
因此矛盾.可見，假設錯誤，即，$f$在$(0,0)$處不可微.
注:之所以$f$在$(0,0)$處偏導數都存在，而在$(0,0)$處的導數卻不存在，是因為$f$在$(0,0)$處的偏導數雖然存在，但是不連續, 根據這篇博文，可知$f$在$(0,0)$處不可微.詳細驗證如下:\begin\frac(x,0)=\frac=1\end其中$x\neq 0$.而我們知道，$\frac(0,0)=0$,因此$f$在$(0,0)$處的偏導數是不連續的.
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
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陶哲軒實分析 習題 12 5 10
度量空間 x,d 叫作是全有界的,如果對於每個 varepsilon 0 都存在正整數 n 和 n 個球 b x varepsilon cdots,b x varepsilon 它們覆蓋 x a 證明 全有界的空間是有界的.begin 證明是簡單的,只要反覆利用絕對值不等式即可.這個命題說明全有界的...