問題描述：
生成樹：在乙個任意連通圖g中，如果取它的全部頂點和一部分邊構成乙個子圖g'，即：v(g')=v(g)和(g')⊆e(g)。若子圖g'同時滿足邊集e(g')中的所有邊既能夠使全部頂點連通而又不形成任何迴路，則稱子圖g'是原圖g的一棵生成樹。
乙個任意連通圖g=(v,e)的生成樹g'=(v,e』)，那麼 |e'| = |v| - 1。
要證明這一特點有許多角度，例如：
加權連通圖g的最小生成樹：在所有的g的生成樹t中，使得邊的權值之和最小的生成樹。
輸入：無向連通圖g=(v, e),權函式w
輸出：g的最小生成樹
kruskal()演算法與prim()演算法的差別以及聯絡：
kruskal()演算法與prim()演算法都是每次選取最小的邊，不過kruskal()演算法是滿足條件的邊，而prim()演算法選取點，依次選取離當前點集合最近的點。
演算法1：kruskal()演算法
演算法描述：
1. 確定貪心思想
其實求g的最小生成樹就是求最小生成樹的邊集，依照下述思想構建最小生成樹的邊集s：
2. 分析貪心選擇性。
引理1：設uv是g中權值最小的邊，則必有一棵g的最小生成樹包含邊uv。
證明：如果不存在這樣的乙個最小生成樹，那麼可以設：設t是g的的某棵最小生成樹，且uv不在t中，那麼，在t中新增uv邊，產生環，刪除環中不同於uv的任意邊xy,得到t '。w(t ')=w(t ) - w(xy) + w(uv) ≤ w(t)，而t是g的的某棵最小生成樹，矛盾，假設不成立。
3.分析優化子結構
定義1：收縮略圖g的邊uv，即用新頂點c代替頂點u,v，同時，將g中原來與u或v關聯的邊與c關聯，刪除c到其自身的邊。記作g·uv。而將上述操作的逆操作稱為擴張，記作g.uv。
定義2：任意樹的權值記為w(t)，w(t) = ∑(u,v)∈vw(u,v)，w(i,j)是邊ij的權值。
引理2：給定加權無向連通圖g=(v,e),權值函式為 w:e→r, uv是g中權值最小的邊。設t是g的最小生成樹，那麼t·uv就是圖g·uv的最小生成樹。
證明：如果g.uv不是圖g.uv的最小生成樹。那麼一定存在樹m是g.uv的最小生成樹，那麼w(m.uv) = w(m) + w(u,v)，而w(t) = w(t·uv) + w(u,v)。而w(t·uv) > w(m)，故而w(t) > w(m.uv)。這與t是g的最小生成樹矛盾，故而假設不成立。
4.分析演算法正確性
其貪心選擇性就是按照該演算法思想構造解的數學歸納證明，使用引理1，引理2可以得到證明。此問題的解的構造不若任務安排問題可以進行很好的形式化，就不展開說明。
5.設計演算法
根據貪心思想設計演算法。
mst-kruskal(g,w)6.演算法複雜性分析：時間複雜性分析：a = null;
for 任意的v屬於v[g] do
make-set(v); /*為每個點構建並查集*/
按照w值的遞增順序排序e[g];
for 任意(u, v)屬於e[g] (按w值的遞增順序) do
if find-set(u) != find-set(v)
/*u,v不在乙個並查集中，說明此時構建的樹中，二者之間不存在路*/
then a=au;
union(u, v);
return a
令n=|v|, m=|e|，那麼
第3~4行執行 o(n) 個make-set操作。第6~10行執行o(m)個find-set和union 操作。共需要時間o((n+m)α(n))。
而由於m ≥ n-1 (連通圖)，故而 α(n)=logn=logm。這裡需要使用到並查集的平攤分析。
總的時間複雜度為 o(mlogm)。
演算法2：prim()演算法
演算法描述：
1. 確定貪心思想
其實求g的最小生成樹就是求最小生成樹的邊集，依照下述思想構建最小生成樹的邊集s：
2. 分析貪心選擇性。
引理1：設uv是g中與頂點u關聯的權值最小的邊，u為任意頂點，則必有一棵g的最小生成樹包含邊uv
證明：如果不存在這樣的乙個最小生成樹，那麼可以設：t是g的的某棵最小生成樹，且uv不在t中，那麼，在t中新增uv邊，產生環，刪除環中不同於uv的任意邊uv ',由於uv不在t中，故而一定存在uv 。得到t '。w(t ')=w(t ) - w(xy) + w(uv) ≤ w(t)，而t是g的的某棵最小生成樹，矛盾，假設不成立。
3.分析優化子結構
引理2：給定加權無向連通圖g=(v,e),權值函式為 w:e→r, uv是g中與u關聯的權值最小的邊，u為任意頂點。設t是g的最小生成樹，那麼t·uv就是圖g.uv的最小生成樹。
證明：如果g·uv不是圖g.uv的最小生成樹。那麼一定存在樹m是g.uv的最小生成樹，那麼w(m.uv) = w(m) + w(u,v)，而w(t) = w(t·uv) + w(u,v)。而w(t·uv) > w(m)，故而w(t) > w(m.uv)。這與t是g的最小生成樹矛盾，故而假設不成立。
4.分析演算法正確性
其貪心選擇性就是按照該演算法思想構造解的數學歸納證明，使用引理1，引理2可以得到證明。此問題的解的構造不若任務安排問題可以進行很好的形式化，就不展開說明。
5.設計演算法
根據貪心思想設計演算法。
mst-prim(g,w,r)使用二叉最小堆來進行具體的撰寫，我看不懂。input 連通圖g，權值函式w，樹根r
output g的一棵以r為根的生成樹
c = ，t = null;
建堆q維護c與v-c之間的邊
while c != v do
uv=extract_min(q) //u屬於c,v不屬於v-c
c = c u;
t = t u;
for 任意的x屬於adj[v] do /*adj[v]是與v之間存在邊的頂點集*/
if x屬於c then 將vx從q中刪除
else 將vx插入q
return t
mst-prim(g,w,r)6.演算法複雜性分析：input 連通圖g，權值函式w，樹根r
output g的一棵以r為根的生成樹
for 任意的v屬於v[g] do
key[v] = 無窮；
π[v] = null；
key[r] = 0;
q = v[g];
while q != null do
u = extract_min(q);
for 任意的v屬於adj[u] do /*adj[v]是與v之間存在邊的頂點集*/
if v屬於q 且 w(u,v)
對於該問題的拓展思考
最小生成樹演算法
由帶權的連通圖生成的數的各邊加起來稱為生成樹的權，把權值最小的生成樹稱為最小生成樹 minimum spanning tree 簡稱為mst 構造最小生成樹的方法就是利用mst性質，一條一條地選擇可以加入的邊。下面介紹兩種用於構造最小生成樹的演算法，其中第一種演算法稱為prim演算法，第二種演算法稱...
最小生成樹演算法
乙個最簡單的最小生成樹 圖結構練習 最小生成樹 time limit 1000ms memory limit 65536k 有n個城市，其中有些城市之間可以修建公路，修建不同的公路費用是不同的。現在我們想知道，最少花多少錢修公路可以將所有的城市連在一起，使在任意一城市出發，可以到達其他任意的城市。輸...
演算法 最小生成樹
前言 最小生成樹是在乙個給定的無向圖中求一棵樹，這棵樹包含無向圖中的所有頂點，且樹中的邊都來自無向圖中的邊，並且要滿足整棵樹的邊權之和最小。1 最小生成樹是樹，其邊數等於頂點數減1，且不會有環 2 對於給定的圖最小生成樹可以不唯一，但是邊權之和一定是唯一的。3 其根節點可以是這棵樹上的任何乙個節點，...