假設p(n)是乙個命題，比如說p(n)="n(n+3)是乙個偶數。"那麼如果我們要證明p(n)對所有的n都成立的乙個重要方法是：
1)證明p(1)成立
2)給出乙個p(1),p(2)...p(n)都為真，則p(n+1)也為真的證明。
現在有乙個例子如下：
1 = 1 * 1
1 + (2 * 2 - 1) = 2 * 2
1 + 2 + (2 * 3 - 1) = 3 * 3
1 + ... +(2 * n - 1) = n * n
好的，那麼p(n) = "1 + ... +(2 * n - 1) = n * n"
1) p(1) = "1 = 1 * 1 " 顯然是正確的。
2) 現在我們要證明如果p(1),p(2)...p(n)都為真，則p(n+1)也為真
由於p(n)為真，於是有 1 + ... +(2 * n - 1) = n * n
在等式的兩邊都加上(2n + 1)結果是
1 + ... +(2 * n - 1) + (2n + 1) = n * n + 2n + 1
即(1 + ... +(2 * n - 1) ) + (2n + 1) = n * n + 2n + 1
這顯然是成立的.
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