數學歸納法的正確敘述

2021-05-04 14:39:03 字數 1046 閱讀 2192

證明,對於所有正整數n,p(n)為真。

歸納法的敘述如下:

a)給出p(1)為真的證明。

b)給出「如果所有p(1),p(2),...,p(n)都為真,則p(n+1)也為真」的證明;這個證明應對任何正整數n都為真。

列舉幾種不太完整的敘述:

最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬於所有自然數時乙個表示式成,這種方法是由下面兩步組成:

遞推的基礎: 證明當n = 1時表示式成立。

遞推的依據: 證明如果當n = m時成立,那麼當n = m + 1時同樣成立。(遞推的依據中的「如果」被定義為歸納假設。 不要把整個第二步稱為歸納假設。)

點評:以上這種歸納法的敘述,是我們在高中證明題中經常用到的,但是這個敘述存在一點問題。在推理依據部分的敘述實際上削弱了原來歸納法的證明能力。按照原來的敘述,在證明遞推依據的時候,我們可用的資源是所有k<=n的資源,而上面的敘述中弱化為只有n=m的資源。

一般地,證明乙個與正整數n有關的命題,有如下步驟:

(1)證明當n取第乙個值時命題成立;

(2)假設當n=k(k≥n的第乙個值,k為自然數)時命題成立,證明當n=k+1是命題也成立。

這個敘述和上面的敘述存在同樣的問題。

下面我給出乙個典型的錯誤敘述:

對任意給定的a,命題:a^(n-1)=1成立。(這個命題顯然是錯誤的。)

a)當n=1時,a^(n-1) = a^(1-1)=a^0=1成立;

b)假設a^n-1對於1到n都成立,則

a ^((n+1)-1)=a^n=a^(n-1) * a^(n-1)/a^((n-1)-1)=1 * 1 / 1 = 1;

現在我們說上面的這個敘述存在的問題是,b)中用到的式子不是對所有的n成立,你會發現,當n = 1,時有a^((n-1)-1) = a^-1,

如果我們有a^-1=1的假定的話,那麼命題也是成立的。再乙個就是它對於n=2的情況並沒有進行證明。

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