試問平面上
n 條彼此相交而無三者共點的直線能夠把平面分割成多少部分？
我們先從簡單的事實出發，設平面分為 sn
部分，由觀察發現：s1
=1+1
s2=1
+1+2
s3=1
+1+2
+3以此類推，便可猜想得到： sn
=1+1
+2+⋯
+n=1
+n(n
+1)2
或者： sn
=sn−
1+n=
s1+2
+3+⋯
+n=2
+2+3
+⋯+n
=1+1
+2+⋯
+n=1
+n(n
+1)2
下面我們使用數學歸納法的思想進行證明，其實是證明在 sn
=1+n
(n+1
)2成立的前提下，sn
+1是否也符合這一等式，也即 sn
+1=1
+(n+
1)(n
+2)2
這裡，我們需要明白乙個基本結論，如果當前有 n 條直線，新增加一條直線（第 n+1 條直線），可以多出來 n 個交點（新的直線和之前所有的直線都有交點），而多出來 n 個交點對應到可以多出 n+1 個平面（比如從兩條線，又新增一條線時，新的線和兩條線都相交，作用在三個區域上，對這三個區域切分，增加三個平面）。
也即：sn+
1=sn
+(n+
1)=1
+(n+
1)(n
+2)2
如此建立的是一種遞迴證明；
同樣我們還可以這樣問，每次切分不被改變的區域有多少個？
以下三元組中的每乙個元素，分別表示，線段的個數，分割的區域數，以及未受到本次切分影響的區域
未受到影響的區域為：sn
−1−n
=1+n
(n−1
)2−n
=(n−
1)(n
−2)2
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