物理引擎學習04 GJK計算多邊形之間的最近距離

計算多邊形之間的最近距離，才是gjk演算法原本的目的。只有兩個多邊形不相交，計算最近距離才有效。如果相交，則最近距離無效，但是可以使用epa演算法要計算碰撞深度。本文的寫作目的，主要是對gjk演算法的理解和應用。對演算法本身感興趣的朋友，可以閱讀源**的文獻。本系列gjk演算法文章共三篇，本篇是第二篇，強烈建議從第一篇開始看:

3. 小結

4. 參考

計算多邊形之間的距離，本質是在兩個多邊形上找到距離最近的邊，然後計算兩個邊之間的最近距離。計算最近距離的演算法和gjk碰撞檢測演算法類似，同樣使用閔可夫斯基差來構建單形體，使用同樣的support函式。當沒有發生碰撞的時候，距離原點最近的閔可夫斯基差集多邊形的邊，就是我們要計算最近距離的關鍵。為了方便表示，下文將該邊稱作「差集最近邊」。

gjk最近距離演算法的兩個關鍵點為：

需要注意的是，兩個多邊形最近的位置不一定是邊，也可能是頂點。不過這種情況，可以認為是長度為0的特殊邊。

/// 按步驟分解，碰撞檢測
public
bool
gjk(shape shapea,
shape shapeb)
******x.
add(p)
;// 單形體包含原點了
if(******x.
contains
(vector2.zero)
)        direction =
findnextdirection()
;}computeclosetpoint()
;return
false
;}

選擇下次的迭代方向不同。上一章用的是原點到直線的垂線作為迭代方向；本章用的是原點到線段的最近向量，作為迭代方向。注意，原點到線段的最近距離不一定就是垂足，可能是線段的某個端點。

不發生碰撞的結束條件不同。上一章迭代演算法最終結束時，可能是乙個不包含原點的三角形，為了得到差集最近邊，我們可以捨棄掉距離原點較遠的那個邊。這裡我們讓演算法多迭代一次，恰好可以捨棄掉那個點，同時會額外會產生乙個重複的support點。因此只要發現support點位置重疊了，就表明迭代演算法可以結束了。

計算步驟的分解**:

最近距離就是原點到差集最近邊的距離。先求出原點到線段的最近點，然後計算原點到最近點的距離即可。設線段為ab，原點為o，先計算出ao在ab上的投影長度:

這裡有個小技巧，計算投影長度，需要將被投影向量ab單位化，也就是要求ab的長度。但是為了讓ao在ab上投影長度單位化到[0, 1]之間，需要額外除以ab的長度，因此計算投影的時候，直接就除以ab長度的平方了，就省去了計算長度時的開方運算。

vector2
getclosestpointtoorigin
(vector2 a,
vector2 b)
// 計算投影長度，並單位化到[0, 1]，需要額外除以ab的長度。因此這裡就直接除以長度的平方了。
float
projection = vector2.
dot(ab, ao)
/ sqrlength;
if(projection <0)
else
if(projection >
1.0f
)else
}

我們改造一下support方法，每次將生成support點用到的兩個頂點也記錄下來。這樣通過support點，可以反向找回多邊形的邊。

設是差集最近邊為l=a

bl = ab

l=ab

，a、b是support點，構成a、b兩的頂點分別自兩個多邊形的邊e1=

aa−b

ae1 = aa - ba

e1=aa−

ba、e 2=

ab−b

be2 = ab - bb

e2=ab−

bb。則求兩個凸包的最近距離，就演變成了求e1和e2兩個邊的最近距離。

設q是原點到l的垂直向量，也就是垂足，則有:

l = b - a \\ q · l = 0 \end

r2 = -(l · a) / (l · l)\\ r1 = 1 - r2 \\ qa = aa * r1 + ba * r2 \\ qb = ab * r1 + bb * r2 \end

⎩⎪⎪⎪⎨⎪

⎪⎪⎧

r2=−

(l⋅a

)/(l

⋅l)r

1=1−

r2qa

=aa∗

r1+b

a∗r2

qb=a

b∗r1

+bb∗

r2計算最近點的偽**如下:

void
computeclosetpoint()
else
}

gjk計算多邊形之間的最近距離，本質上是使用gjk演算法求得差集最近邊。而構成差集最近邊的兩個support點，就是來自兩個多邊形的最近邊上的4個頂點。然後就將問題轉換成，計算兩條邊之間的最近距離和最近點。

本章demo使用unity3d引擎開發，demo工程已上傳github:

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