完全揹包問題 詳細解答

首先完全揹包問題需要01揹包問題做鋪墊,如果讀者01揹包問題沒有解決,一定要理解之後,在看完全揹包問題,包括01揹包的優化!

這裡是01揹包

這裡是01揹包的全部優化

好,我們開始完全揹包!

有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的體積是v[i]，價值是val[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

01揹包的狀態轉移方程為:dp(i,j)=max(dp(i-1,j),dp(i-1,j-v[i])+val[i])

完全揹包的狀態轉移方程:dp(i,j)=max(dp(i-1,j),dp(i,j-v)+val[i])

我們可以看出,完全揹包的動態轉移方程max中第二項為i,而不是i-1。

我們用01揹包的思想去推導,完全揹包的動態轉移方程

(w為val[i]簡寫)(v=v[i]簡寫)

dp(i,j)=max(dp(i-1,j) , dp(i-1,j-v)+w , dp(i-1,j-2v)+2w , dp(i-1,j-3v)+3w,

~~(以此類推到k) ,dp(i-1,j-k*v+kw))

我簡單解釋一下上面的方程,其實就是利用01揹包思想,要求無限個物品,實際上我最多能裝v/v[i]個 (總體積除以的單個個體積),所以我從裝0個,到裝乙個,2個,3個,k個這裡面一定有其中乙個,是能產生最大的價值!

開始推導

(時刻注意與這個方程的聯絡)

dp(i,j)=max(dp(i-1,j) , dp(i-1,j-v)+w , dp(i-1,j-2v)+2w , dp(i-1,j-3v)+3w,

~~(以此類推到k) ,dp(i-1,j-k*v+kw))

還是利用01揹包思想

dp(i,j-v)=max( dp(i-1,j-v) , dp(i-1,j-2v)+w,dp(i-1,j-3v)+2w , dp(i-1,j-4v)+3w,~~

~依次類推到k , dp(i-1,j-kv)+(k-1)w) )

dp(i,j-v)+w=max( dp(i-1,j-v)+w , dp(i-1,j-2v)+2w,dp(i-1,j-3v)+3w , dp(i-1,j-4v)+4w,~~dp(i-1,j-kv)+kw)

dp(i,j)=max(dp(i-1,j) , dp(i-1,j-v)+w , dp(i-1,j-2v)+2w , dp(i-1,j-3v)+3w,

~~(以此類推到k) dp(i-1,j-k*v)+kw))

dp(i-1,j-v)+w , dp(i-1,j-2v)+2w , dp(i-1,j-3v)+3w,~~, dp(i-1,j-k*v)+kw

完全揹包的狀態轉移方程:dp(i,j)=max(dp(i-1,j),dp(i,j-v)+w)

好了我們推導完成。

然後我們看下**:

#include

using
namespace std;
int n,v;
int v[
1010
],val[
1010];
int dp[
1010][
1010];
intmain()
for(
int i=
1; i<=n; i++
)for
(int j=
0; j<=v; j++)}
printf
("%d"
,dp[n]
[v])
;return0;
}

我從**的角度闡釋一下這個問題!

注意我們現在並沒有對dp陣列進行降維!

我們的j是從0開始的,依次遞增這個是完全揹包的關鍵,也是與01揹包本質的區別

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+val[i]);

首先要滿足完全揹包的動態轉移方程,就要先知道dp(i,j-v)的大小

正好我們是從0開始的,並不是從後往前,也就是當求到dp(i,j)時

dp(i,j-v),在前面已經求過!!!

所以我們可以應當理順的求出dp(i,j)而不再是向01揹包要考慮前i-1時候的狀態!

然後我們根據01揹包的優化原則對,完全揹包進行優化!

優化後的動態方程

dp[j]=max(dp[j],dp[j-v]+w)

**(裡面有乙個點需要理解,我寫在注釋裡了)

#include

using
namespace std;
int n,v;
int v[
1010
],val[
1010];
int dp[
1010];
intmain()
for(
int i=
1; i<=n; i++
)for
(int j=
0; j<=v; j++)}
printf
("%d"
,dp[v]);
//輸出最大體積,即最優解
return0;
}

嘻嘻~~

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