我們都知道，衝激函式的傅利葉變換是乙個單頻的三角函式，所以從書上看到「衝激串函式的傅利葉變換還是衝激串函式」這個結論的時候非常震驚。從直覺上看，衝激串函式的傅利葉變換應該是一串三角函式，知乎上也有乙個網友發出了相同的疑問，但是以"不構成疑問"的方式被關閉了。那麼到底是怎麼回事呢？
我們先來觀察一下這四個式子。原式st(
t)=∑
n=−∞
+∞δ(
t−nt
)s_(t) = \sum\limits^_ \delta(t - nt)
st(t)
=n=−
∞∑+∞
δ(t
−nt)
化成傅利葉級數之後的結果
s t(
t)=1
t∑n=
−∞+∞
ej2π
nt
ts_(t) = \frac\sum\limits^_ e^t}
st(t)
=t1
n=−∞
∑+∞
ej2π
tnt
原式的傅利葉變換
s ω(
ω)=∑
n=−∞
+∞e−
j2πn
ωω
s_(\omega) = \sum\limits^_ e^\omega}
sω(ω)
=n=−
∞∑+∞
e−j
2πωn
ω化成傅利葉級數之後的結果的傅利葉變換
s ω(
ω)=ω
∑n=−
∞+∞δ
(ω−n
ω)
s_(\omega) = \omega\sum\limits^_ \delta(\omega - n\omega)
sω(ω)
=ωn=
−∞∑+
∞δ(
ω−nω
)其中ωt=
1\omega t=1
ωt=1
，為了形式更對稱，我就在時域和頻域使用了不同的記號。稍加觀察就能發現，它們的形式存在一定的對稱性。如果原始解法中用一些技巧把原式轉化成傅利葉級數，那我們也可以用同樣的道理把最後乙個式子化成倒數第二個的那種模樣。 為了證明思路的完整性，我還是把它照貓畫虎地寫在下面。
考慮s ω(
ω)
s_(\omega)
sω(ω)
的傅利葉級數，有如下形式
s ω(
ω)=∑
n=−∞
+∞cn
e−j2
πnωω
s_(\omega) = \sum\limits^_ c_ e^\omega}
sω(ω)
=n=−
∞∑+∞
cn
e−j2
πωn
ω其中cn=
1ω∫−
ω/2ω
/2sω
(ω)e
−j2π
nωωd
ωc_ = \frac\int_^ s_(\omega) e^\omega} d\omega
cn=ω1
∫−ω
/2ω/
2sω
(ω)
e−j2
πωn
ωdω代入sω(
ω)
s_(\omega)
sω(ω)
的形式可得
c n=
1ω∫−
ω/2ω
/2ω∑
m=−∞
+∞δ(
ω−mω
)e−j
2πnω
ωd
ωc_ = \frac\int_^ \omega\sum\limits^_ \delta(\omega - m\omega) e^\omega} d\omega
cn=ω1
∫−ω
/2ω/
2ωm
=−∞∑
+∞δ
(ω−m
ω)e−
j2πω
nωd
ω利用衝激函式的定義不難得出，上式中只有m=0
m=0m=
0的這一項對積分有貢獻，因此積分化簡為
c n=
1ω∫−
ω/2ω
/2ωδ
(ω)e
−j2π
nωωd
ωc_ = \frac\int_^ \omega\delta(\omega) e^\omega} d\omega
cn=ω1
∫−ω
/2ω/
2ωδ
(ω)e
−j2π
ωnω
dω再次利用衝激函式的定義，可得
c n=
1ωωe
−j2π
nω0=
1c_ = \frac \omega e^0} = 1
cn=ω1
ωe−
j2πω
n0=
1帶回傅利葉展開式中，即可得
s ω(
ω)=∑
n=−∞
+∞e−
j2πn
ωω
s_(\omega) = \sum\limits^_ e^\omega}
sω(ω)
=n=−
∞∑+∞
e−j
2πωn
ω與另一種方式獲得的結果形式一致。由於n的取值是關於原點對稱的，所以指數上沒有特別區分一開始的正號和負號，若有弄錯還請諒解。這是將結果的衝激串函式形式轉化回了我們自然獲得的三角函式形式，如果是想順著做，也就是把自然獲得的三角函式形式化成衝激串函式的形式也是可以逆著這個步驟一步一步拼湊、構造出來的，是沒有問題的。
知乎上另乙個提問的和高讚回答提到了傅利葉變換的條件。如果如上推導是正確的，那是否是這個說法存在問題呢（逃。當然也有可能是巧合，就是雖然不符合條件但是是對的。歡迎朋友們一起討論。
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