（建議閱讀原文）預備知識圓錐曲線的極座標方程第二種定義
我們已經知道用焦點和準線如何定義雙曲線， 雙曲線的極座標方程為（
以與極座標系相同的原點建立直角座標系， 要把以上方程變到直角座標系中， 將
，代入得
兩邊平方且化簡得
把雙曲線沿
軸正方向移動
， 可得以下形式
這就是雙曲線的第二種定義， 從上式容易看出， 雙曲線的兩支是左右對稱的．以上兩式對比係數得
用 表示
有 由離心率的定義，雙曲線的焦點到準線的距離為
，準線的座標為
．由對稱性，雙曲線有兩個焦點和兩條準線，任意乙個焦點到雙曲線兩支的任意一點比上該點到焦點同側準線的距離都等於離心率．
第三種定義
雙曲線的另一種定義是， 曲線上任意一點到兩個焦點距離之差等於
． 這裡證明前兩種定義滿足該性質． 由對稱性， 我們不妨只考慮右支上的某點， 令其到右焦點和右準線的距離分別為
和 ， 到左焦點和左準線的距離分別為
和 ． 由離心率的定義， 有
由於兩準線之間的距離恒為
， 上式變為
證畢．漸近線
圖 1：雙曲線的漸近線 當
都無窮大時， 式 4 中的
可以忽略不計，有
，漸近線與
軸夾角為
兩條漸近線到兩個焦點的距離都為
把根號部分關於
進行泰勒展開， 有
所以當
時， 就有漸進線
． 之所以要這樣做， 是為了防止式 13 右邊出現常數項． 如果存在常數項
， 那麼雙曲線的漸近線就是
了．
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