任意點 曲線距離 二次曲線

這次的內容也許會讓你比較「喜歡」，因為與現在高中數學的內容聯絡更緊密，抽象的理論比較少。不再說那麼虛無縹緲的，僅僅是討論平面上的一類特殊的曲線。

高中所講的圓和圓錐曲線，都可以看作是二元二次方程

的影象，後者稱為二次曲線。

高中把圓討論得相對更透徹一些，因為給出了圓的一般方程。圓的方程總是二元二次方程，且乙個二元二次方程的影象是圓的充要條件是

這是怎樣得出的呢？考慮圓的定義：與某一頂點的距離是某一定長的點的集合。

設定點是

定長是

那麼某一點

位於這個圓上的充要條件是

該方程就是圓的標準方程。整理得

換元可以解出所求結論。

而各種圓錐曲線的一般方程，如果還是像剛才這樣利用定義求，就會非常繁瑣。這是為什麼高中只討論某些特殊的圓錐曲線，例如橢圓只研究中心是原點、焦點位於座標軸上的，而不研究任意的。

我們已經知道，對乙個圖形進行平移、旋轉變換，可以讓它的方程更簡單，那麼就先討論一下圖形的變換。

設乙個圖形的方程是

將它平移後得到的圖形的方程應該是

將它旋轉後得到的圖形的方程應該是

因此對於二次曲線來說，平移後的方程是

其中注意到線性方程組

若 則它有唯一解，讓

取這個解，然後成立

此時再做旋轉，得到

其中根據三角公式，

當 時，可以解出

使 這樣就證明了當

且 時，可以將二次曲線經過平移、旋轉變換，化簡成

的形式，這是我們很熟悉的。

當 或

時，也可以代入後類似地討論。

最終可以證明，二次曲線的形狀只可能是：橢圓、圓、點（橢圓型）；雙曲線、兩條相交直線（雙曲型）；拋物線、直線（拋物型）。

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