dtft變換的性質
線性性質
設 $$ x[n]\xrightarrowx(e^)\quad y[n]\xrightarrowy(e^) $$
則 $$ \beginax[n]+by[n]&\xrightarrow\sum_^(ax[n]+by[n])e^ \ &=a\sum_^x[n]e^+b\sum_^y[n]e^\ &=ax(e^)+by(e^) \end $$
時移性質
設 $$ x[n]\xrightarrowx(e^) $$
則$x[n-n_0]$的傅利葉變換為 $$ \sum_^x[n-n_0]e^\xrightarrow\sum_^x[m]e^e^=e^x(e^) $$
頻移性質
設 $$ x[n]\xrightarrowx(e^) $$
則$e^x[n]$的傅利葉變換為 $$ \sum_^e^x[n]e^=\sum_^x[n]e^=x(e^) $$
時域反轉
設 $$ x[n]\xrightarrowx(e^) $$
則$x[-n]$的傅利葉變換為 $$ \sum_^x[-n]e^\xrightarrow\sum_^x[m]e^=x(e^) $$
時域微分
設 $$ x[n]\xrightarrowx(e^) $$
由於 $$ x[n]=\frac\int_^x(e^)e^dw $$
兩邊同時對$n$進行微分運算 $$ \frac=\frac\int_^jwx(e^)e^dw $$
所以 $$ \frac\xrightarrowjwx(e^) $$
頻域微分
設 $$ x[n]\xrightarrowx(e^) $$
由 $$ x(e^)=\sum_^x[n]e^ $$
兩邊同時對$w$進行微分 $$ \frac)}=\sum_^-jnx[n]e^ $$
$$ \rightarrow \sum_^nx[n]e^= j\frac)} $$
所以 $$ nx[n]\xrightarrowj\frac)} $$
卷積性質
設 $$ x[n]\xrightarrowx(e^)\quad y[n]\xrightarrowy(e^) $$
則二者卷積的$dtft$為 $$ \begin \sum_^(x[n]*y[n])e^&=\sum_^\sum_^x[m]y[n-m]e^ \ &=\sum_^x[m]\sum_^y[n-m]e^ \ &\xrightarrow\sum_^x[m]e^\sum_^y[k]e^ \ &=x(e^)y(e^) \end $$
調製定理
設 $$ x[n]\xrightarrowx(e^)\quad y[n]\xrightarrowy(e^) $$
則$x[n]y[n]$的$dtft$為 $$ \begin \sum_^(x[n]y[n])e^ &=\sum_^x[n]\frac\int_^y(e^)e^d\theta e^ \ &=\frac\int_^\sum_^x[n]^y(e^)d\theta \ &=\frac\int_^y(e^)x(e^)d\theta \end $$
parseval定理
設 $$ x[n]\xrightarrowx(e^)\quad y[n]\xrightarrowy(e^) $$
則 $$ \begin \sum_^x[n]y^{}[n]&=\sum_^xn^{} \ &=\frac\int_^x[n]e^y^{}(e^)dw \ &=\frac\int_^x(e^)y^{}(e^)dw \end $$
得到parseval定理 $$ \sum_^x[n]y^{}[n]=\frac\int_^x(e^)y^{}(e^)dw $$
如果$y[n]=x[n]$,那麼 $$ \sum_^\vert x[n] \vert^2=\frac\int_^\vert x(e^)\vert^2dw $$
即序列$x[n]$的能量，可以通過對$\vert x(e^)\vert^2$的積分求得，所以稱$\vert x(e^)\vert^2$為序列$x[n]$的能量譜密度。
dtft變換的性質 傅利葉變換家族
本文簡要介紹傅利葉變換家族的幾大成員，包括 傅利葉級數 傅利葉變換 離散時間傅利葉變換和離散傅利葉變換。本文之後我會發布五篇文章全面地介紹傅利葉變換家族 一篇文章搞懂傅利葉級數 一篇文章搞懂傅利葉變換 一篇文章搞懂離散時間傅利葉變換 一篇文章搞懂離散傅利葉變換 一篇文章搞懂快速傅利葉變換 傅利葉家族...
生動展示相位變化導致頻移
這裡只展示一階相位變化，即 訊號 乘以相位 畫出了實部的時域圖，和頻譜，在頻譜圖上可以看到，有兩個頻率 16hz和24hz，頻率變化就可以通過頻譜圖展示出來了，至於時域圖，沒辦法看到一眼看出頻率是多少，因為頻譜是兩個頻率的疊加，16hz和24hz 如果畫訊號絕對值 abs 的話，是看不到任何變化的，...
dtft變換的性質 傅利葉變換（一） 傅利葉級數
開的這個坑大概就是寫寫從另乙個視角來看快速離散傅利葉變換fft。oi當中常見的fft的推導方法是從多項式乘法出發，作為多項式乘法的優化演算法出現，關於多項式的相關理論詳見miskcoo大佬的blog從多項式乘法到快速傅利葉變換 miskcoo s space，寫的十分詳細。在這個專題下，將會依次講解...