根據前文 rnderace：傅利葉變換，已經對傅利葉變換有了初步認識，這一次我們**一下傅利葉變換的性質以及一些基本的應用。
傅利葉變換具有如下形式：
這裡我之所以不使用
的記號，就是因為傅利葉變換的兩個條件：
1.原函式定義在
上2.原函式要「絕對可積」：
為有限值，且
對於條件1，如果是以
作為記號，考慮其物理意義是時間，時間並不滿足定義在
上，這也是導致拉普拉斯變換在很多方面強於傅利葉變換的原因。
實際上，傅利葉變換作為一種積分變換，它也是線性變換。只不過它不同於有限維線性空間的是，它的作用物件是函式。對於線性變換，我們應當有這樣一種意識：不論物件是什麼，滿足線性運算這種操作就是一種線性變換。而如果對作用物件有一定限制，比如存在零元( 任何元素與它作用都得到
)，么元( 任何元素與它作用都得到本身 )等等，這樣的作用物件+線性運算，將得到乙個線性空間。
至於所謂積分變換，是指：
，其中
稱為積分變換的核。它相當於是線性代數中的
。我們將傅利葉變換記為
，現在來討論一些性質。
1.微分定理 i（關於原函式的微分定理）
由於函式滿足絕對可積，
在無窮遠處取
。所以：
記為：
2.微分定理 ii（關於象函式的微分定理）
由於 ，我們取微分：
故：3.積分定理
根據微分定理 i，原函式求導後再進行傅利葉變換，實際上就是原函式的象函式乘以因子
。所以反過來，原函式積分後進行傅利葉變換，就是原函式的象函式除以因子
。即：
，其中
取任意實數。
4.位移定理
所謂「位移」，體現在自變數上就是將
換為 ，令
即：5.卷積定理（關於卷積的傅利葉變換）
將卷積記為 「
」，所謂「卷積」指的是
過程有些繁瑣，但原理很簡單。
涉及兩個積分號，只需要將內部的積分號轉化為
或 的象函式
或者 。然後再使外面的積分號轉化為另乙個象函式。
所以：
在解微分方程方面的應用，傅利葉變換將被拉普拉斯變換取代，但對於某一些方程，傅利葉變換要方便一些。值得注意的是，使用傅利葉變換解微分方程，自變數必須滿足定義在
上
這個條件。
不論是拉普拉斯變換還是傅利葉變換，它們都是把微分方程轉化為代數方程求解的，十分方便。
1.對於微分方程
求解。
對方程兩端取傅利葉變換：
反變換：
再舉乙個量子力學的例子：
2.粒子在
函式勢：
中運動，求束縛態情況
的本徵方程。
由於是束縛態本徵方程，直接寫出定態薛丁格方程：
，其中
、是待定係數，有：
， 對定態薛丁格方程兩邊進行傅利葉變換：
解得：
進行傅利葉逆變換：
由於該波函式一般具有如下形式：
，所以
有： ，而本徵能量為
這說明系統只存在一種束縛態，不論勢的強度
如何。最後利用歸一化條件：
所以歸一化的本徵函式為：
dtft變換的性質 傅利葉變換（一） 傅利葉級數
開的這個坑大概就是寫寫從另乙個視角來看快速離散傅利葉變換fft。oi當中常見的fft的推導方法是從多項式乘法出發，作為多項式乘法的優化演算法出現，關於多項式的相關理論詳見miskcoo大佬的blog從多項式乘法到快速傅利葉變換 miskcoo s space，寫的十分詳細。在這個專題下，將會依次講解...
傅利葉級數與傅利葉變換
法國數學家傅利葉發現，任何週期函式都可以用正弦函式和余弦函式構成的無窮級數來表示 選擇正弦函式與余弦函式作為基函式是因為它們是正交的 後世稱傅利葉級數為一種特殊的三角級數，根據尤拉公式，三角函式又能化成指數形式，也稱傅利葉級數為一種指數級數。傅利葉變換，表示能將滿足一定條件的某個函式表示成三角函式 ...
傅利葉級數與傅利葉變換總結
1.連續週期訊號 fs 將乙個連續週期訊號用無數個復指數訊號的線性組合來表示 指數形式 或者說表示成無數個正弦與余弦訊號的疊加 三角函式形式 用傅利葉級數的係數來表示頻譜，頻譜是離散非週期的。對比 離散週期訊號 dfs 道理同上，得到離散週期性的頻譜。2.連續非週期訊號 ft 看作是連續週期訊號，週...