「在自然科學中，數學的巨大應用，有點介於神秘的邊界，對此還沒有合理的解釋.」
——eugene wigner
引子
在從事科學活動的時候，我們需要知道自己在做什麼嗎？我們如何理解乙個公式的意義？所謂理解，就是將事物納入自己已有的框架之中——我們必須先要有乙個框架，否則任何理解都是不可能發生的. 框架（framework）一詞在某個意義上和形式（form）是同義的. 熟悉的形式能給我們帶來對資訊和理論的理解. 因此形式是重要. 此外，形式化也是科學美學的需要，甚至，形式化就是科學理論及其發展的一部分，是人們進行科學活動的腳手架.
什麼是形式化？
形式化（formalization），即將新的科學物件，整理為我們已知的熟悉的形式. 在物理學中有三個典型的例子：1. 流和力；2. 量子力學中概率流及連續性方程. 3. 哈密頓力學和量子力學的對應. 狄拉克的量子力學符號系統，則是另一種形式的形式化. 這種形式化，是完全用符號表徵理論. 這點我們希望有能力日後加以討論.
圖1 狄拉克符號
為了形式的經濟性，理論家經常需要對某些量打包，定義乙個能滿足已有形式方程的量. 比如量力中的概率流，就是為了讓它滿足連續性的流體方程硬生生的定義出來的. 我們需要付出些代價（將某些量打包），損失一部分理論的經濟性，而達到最終的經濟性——乙個簡單的方程.
圖2 流體連續性方程
物理學和一切理論的根本動機，就是將盡可能多的現象或者規律，納入到乙個盡可能小的統一的框架中. 下圖就是廣義流和力的定義，以及常係數，這些定義是無法直觀理解的，但是這個框架，則是可以直觀理解的.
圖3 廣義流的定義
圖4 廣義流的例子-熱流
圖5 廣義流的例子-電路密度
在物理中，形式甚至比內容更重要，正是由於某些框架是人們可以理解的——從語言學的角度，叫做隱喻式的理解. 所以人們會努力定義物理量或者某些概念，誇張一點說，為了將其納入那些已有的框架中，理論家們不惜「削足適履」. 於是理論就有了美感，有了邏輯的，簡潔的美感——儘管這種做法存在一定的危險.
形式化和科學理解
形式即模式，是個類似語言學中的隱喻的東西——隱喻幫助人們理解抽象或者新的語言物件，形式化之於科學理論也是如此.至少在物理裡面，形式化能產生物理影象. 物理影象有時候挺重要的，關鍵是你能利用這個影象直觀理解理論，甚至在這個直觀影象下，推進科學思考——人類本質上還是直觀的動物. 比如量力的概率流，這個概念是在流體力學的思路下定義出來的，在量子力學裡，概率流，又稱為概率通量，是描述概率密度流動的物理量. 假若將概率密度想像為非均勻流體。那麼，概率流就是這流體的流率（概率密度乘以速度）. 當然概率流符合流體的連續性方程，然後你就理解了量子力學中的概率守恆——而概率流這個概念是純數學的（形式的），一點物理意義都沒有. 或者最多說，其物理意義是體現在連續性方程裡面.
圖6 概率流及概率流守恆
隱喻在語言理解中存在曲解的危險，在語言思考中存在跑偏的危險. 形式化產生的物理影象也可能存在這種危險，可能會將科學思考帶到溝裡去...這是需要引起注意的，但是具體討論超出了本文的範圍.
形式化對科學理論的理解的幫助方式，是將新現象納入舊框架，然後形成某個意義上的「理解」. 最典型的例子就是散射截面的概念，散射截面的物理意義：乙個入射粒子經碰撞後，散射到方向單位立體角的機率. 其定義是抽象的，數學的，因此無法得知其物理意義，然而其量綱是距離的平方，因此可以模擬為面積——這個模擬讓人直觀地理解了這個量，比如如果散射面積大，我們就知道粒子發生散射的概率大. 我們還可以用散射截面進行加減，微分和積分等操作，就像對面積進行這些操作一樣.
圖7 粒子的散射
圖8 散射截面和微分散射截面
需要注意的是，概念和數學量是我們構建理論大廈的building block. 我們需要打包某些概念，形成乙個能在理論中通用概念群，然後借助這些二階或更高階的概念，繼續發展理論——我們不可能借助簡單的距離，時間，質量這些基本的量構建理論——儘管它們本質上來自這些基本量，正如我們無法用沙子或者黏土直接建房子一樣——我們需要先用它們燒磚.
形式化和科學研究
對於乙個有正常審美的物理學家，方程的簡單性是性命攸關的. 為了實現這點，我們就不得不付出一些代價（如上文所述），以一種非經濟性換取最終的經濟性.
典型的例子是狄拉克方程和愛因斯坦場方程，它們都是極度簡潔優美的. 然而這點不可能憑空產生，前期需要做大量的打包工作. 比如許多符號都是高度壓縮的. 比如狄拉克方程中的斜偏微分符號，以及愛因斯坦場方程中的各個張量.
圖9 狄拉克方程
圖10 愛因斯坦場方程
除了審美價值，形式化還能給我們帶來什麼東西呢？特別是內在的東西？答案很可能是肯定的——即形式化具有方**上的本體性地位，而形式具有科學理論的本體性地位. 我們追求理論最大化的簡潔性和普遍性，那就不得不做形式化的努力. 也就是將盡可能多的相關資訊，納入乙個簡單的形式之中. 這些形式有時候是深刻的.典型的例子是李群中的生成元理論. 在這個理論中，我們看到，群元素不是最基本的，生成元是某個意義上更加基本的. 而且利用生成元，我們還可以做很多其他的事情，並且更深刻地理解群論.
理論的對世界描述的統一性的追求，也是和物理理論進展的乙個重要動力. 比如在當代相對論研究中，研究者試圖擴大相對論中時空的維度，從四維到五維，聲稱能產生更加簡潔的方程，並且能統一物質和電磁場和引力場. 這種增加維度的方法並不稀奇，這似乎是弦理論專家的慣用模式——通過增加維度而實現更大的對稱性，或者更大的統一性——不過看起來只是個技術活.
尾論
參考文獻
科學網—再談廣義力、廣義流等 - 王曉鋼的博文
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