可數集是集合論中的乙個基礎概念，不搞懂它，無法繼續學習實分析、測度論。因為lebesgue測度的性質就有可數可加性！
要了解可數集是什麼首先要搞懂什麼是集合的勢。
對於乙個集合來說，其中的元素有多少是乙個很基本的問題。比如說，對於集合a和b來說，如何判斷a和b哪個的元素多？如果是有限集，倒是可以用自然數數出其中元素的個數，但是如果a和b都是無限集合，應該怎麼判斷呢？
因此就有了勢的定義：
設集合a和b，若存在乙個從a到b上的一一對映，則稱集合a和b對等，記作顯然，要判斷兩個集合是不是等勢，只需要看這兩個集合之間能不能建立起元素的一一對映，如果可以的話，我們就說這兩個集合的元素是一樣多的。勢。
例如集合
是兩個集合之間的一一對映。不過在這個例子不用等勢的概念也知道它們的元素是3個。
又例如正偶數集合
和自然數集合
等勢，這是因為
所決定的函式
是乙個由
到 e 的一一對映。這是乙個與直覺相悖的的例子。
那麼可數集定義如下：
設自然數集可數集的英語是countable set，但是我覺得另乙個翻譯——「可列集」比較好，代表集合的元素可以一一列出。的基數是
（讀作阿列夫零），如果乙個集合a的勢是
，則稱a是可數集，也叫做可列集。
注意，可數集依然是無限集合。
這裡把幾個容易混淆的概念區分一下：
有限集：是一種具有唯一計數的集合，有限集的勢就是它的計數。
無限集：不是有限集的集合就是無限集。無限集必與其真子集對等。
不可數集：如果乙個集合既是無限集，其基數又不等於
，這個集合就是不可數集。可見不可數集和自然數集之間不存在乙個雙射。
需要用到對角線論證法巧妙證明，這是 cantor 於2023年提出的，該證明是用反證法完成的，步驟如下：
假設區間[0, 1]的全體實數集合是可數的，那麼把所有在這區間內的實數列出為：
如果該數列小數形式表現如下：
考慮 小數點後的第k個位，把這些數字加上下劃線：
然後設一實數
，是按照如下的方式定義的：
顯然x是乙個在區間[0, 1]內的實數，按照上圖，可以表示為 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...
由於我們假設
列出了所有區間[0, 1]內的實數，所以必存在乙個
但是由於x的定義使其與
之中所有的實數都不相等（因為 x 和
會在第n個小數字必不同），所以x不在序列
中。導致
並不能列出所有區間[0, 1]內的實數，這發生了矛盾，所以區間[0, 1]內的全體實數集合是不可數集。
這是乙個與可數無限集合有關的數學悖論，由德國數學家大衛·希爾伯特提出。
假設有乙個擁有可數無限多個房間的旅館，且所有的房間均已客滿。
設想此時有乙個客人想要入住該旅館。由於旅館擁有無窮個房間，因而我們可以將原先在1號房間的客人安排到2號房間、2號房間原有的客人安排到3號房間，以此類推，這樣就空出了1號房間留給新的客人。重複這一過程，我們就能夠使任意有限個客人入住到旅館內。
在這種方式下我們可以看出集合
和集合
有相同的勢，因為已知這兩個集合之間存在一一對映。
另外，我們還能把可數無限個新客人安排到旅館中：將1號房間原有的客人安置到2號房間、2號房間原有的客人安置到4號房間、n號房間原有的客人安置到2n號房間，這樣所有的奇數房間就都能夠空出來以容納新的客人。這就是前面的正偶數集合
和自然數集合
等勢的例子。
這一問題雖然被稱作「悖論」，但事實上它並不矛盾，而僅僅是與我們直覺相悖而已。「每個房間都客滿」與「無法入住新的客人」兩者其實並不等價。客滿不代表不能入住客人，而有客人離開卻依然是客滿。
因此無限集合的性質與有限集合的性質並不相同。事實上，乙個無限集合之所以無限的充要條件是它與它的某真子集對等。
實變函式論與泛函分析 夏道行等
wikipedia: countable set
wikipedia: hilbert's paradox of the grand hotel
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