線性代數是研究向量和矩陣的一門數學，矩陣也是向量構成的，所以線性代數主要是研究向量，向量空間以及向量線性組合性質的一門科學。
我們很早就接觸到了向量這個東西，向量也稱為向量，是一種有方向，有數值大小的一種數值表示。我們知道向量有幾種基本的運算，向量加法，就是向量裡的每乙個分量對應相加，向量與乙個標量相乘，就是向量裡的每乙個分量與該標量相乘： 比如兩個維度為n 的向量相加，可以得到：
u+v=(u1+v1,u2+v2,...un+vn)
或者，乙個維度為 n 的向量與乙個標量 kk相乘，可以得到：
ku=(ku1,ku2,...,kun)
定義了這兩種運算之後，我們可以就定義乙個向量空間，在定義向量空間之前，我們先來**一下空間的定義，網上有人總結的很好，在我們的現實世界裡，三維空間就是我們非常熟悉的乙個空間，從數學上說，這是乙個三維的歐幾里德空間，我們先不管 那麼多，先看看我們熟悉的這樣乙個空間有些什麼最基本的特點。仔細想想我們就會知道，這個三維的空間：
1: 由很多(實際上是無窮多個)位置點組成；
2: 這些點之間存在相對的關係；
3: 可以在空間中定義長度、角度；
4: 這個空間可以容納運動，這裡我們所說的運動是從乙個點到另乙個點的移動(變換)，而不是微積分意義上的「連續」性的運動.
上面的這些性質中，最最關鍵的是第4條。第1、2條只能說是空間的基礎，不算是空間特有的性質，凡是討論數學問題，都得有乙個集合，大多數還得在這 個集合上定義一些結構(關係)，並不是說有了這些就算是空間。而第3條太特殊，其他的空間不需要具備，更不是關鍵的性質。只有第4條是空間的本質，也就是說，
容納運動是空間的本質特徵。
認識到了這些，我們就可以把我們關於三維空間的認識擴充套件到其他的空間。事實上，不管是什麼空間，都必須容納和支援在其中發生的符合規則的運動(變換)。你會發現，在某種空間中往往會存在一種相對應的變換，比如拓撲空間中有拓撲變換，線性空間中有線性變換，仿射空間中有仿射變換，其實這些變換都只不過是對應空間中允許的運動形式而已。因此只要知道:
「空間」是容納運動的乙個物件集合，而變換則規定了對應空間的運動。
我覺得這個概括非常好，如果把向量看成是空間中的乙個個點，那麼向量的變換就是這個點在空間中的運動。所以說，向量空間也是乙個集合，這個集合對向量的加法和數乘是封閉的，也就是說，只要向量在這個空間內，那麼向量按照加法和數乘的方式運動，就會一直在這個空間裡。所以，對加法和數乘運算封閉的向量空間也稱為線性空間。
定義了向量空間之後，我們來看看最常見的一種向量空間，rn 這個定義了乙個維度為 n 的實向量空間，就是所有維度為 n 的實向量的集合，當n=2，就是我們所說的二維空間，也就是我們常見的平面，當 n=3，就是常見的三維立體的空間，這個空間可以看成是所有向量的乙個集合。很容易可以看出，如果有任意兩個向量 u,v 在向量空間裡，那麼 u+v 必然也在這個空間裡，而且 cu同樣也是在這個空間裡。
向量子空間
定義了向量空間之後，我們接下來看看向量子空間，我們還是以常見的向量空間 rn 為例，我們知道，rn 包含了所有維度為 n 的實向量，但是有的時候，我們可能不需要考慮所有的 n 維實向量，我們只需要考慮一部分的 n 維實向量，那麼這一部分實向量構成的集合或者空間，就稱為向量子空間。
向量子空間可以看成是向量空間中的乙個子集，但是子集本身也是封閉的，也就是說，如果有任意兩個向量 u,v 在子空間裡，那麼 u+v 必然也在這個子空間裡，而且 cu 同樣也是在這個子空間裡。因為要滿足數乘封閉，所以 0 向量必然包含在子空間裡，所有的子空間都應該包括 0 向量，以常見的三維空間 r3 為例，0 向量本身肯定是乙個子空間，過原點的一條直線，或者乙個平面都是乙個子空間，當然三維空間本身也可以看成是乙個子空間，所以，三維空間可以存在四種子空間：
0 向量
過原點的直線
過原點的平面
三維空間本身
所以概括來說，向量空間是向量的集合，而向量子空間，就是這個集合中的子集，無論向量空間還是子空間，都滿足向量加法和數乘的封閉性。
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