先複習一下複數
複數可以看做
這組基 (basis) 的線性組合（linear combination），所以可以用向量來表示複數。
當然也就可以用復平面上的點來表示複數：
複數的乘法：
可以把它看做乙個矩陣和乙個向量相乘：
所以複數也可以看成矩陣：
, 把
也換成對應的矩陣：
:這也足以證明複數看成矩陣是正確的，所以複數相乘這個運算，也可以看成是矩陣變換。
1可以等價的看成
，其矩陣形式為
: ,即單位矩陣i. i 為
, 等價於
：這也說明了矩陣形式的正確性。
同時無論用代數形式或者向量形式，都可以驗證複數的乘法滿**換律。
複數的模：
共軛 (conjugate), 如果
， 其共軛：
可以算出：
對比看它的向量形式：
所以複數有極座標形式，經常被寫作：
又通過尤拉公式（
），可以寫作：
所以上述給了我們幾種看待複數的方式：
代數 :
向量:
矩陣:
極座標:
指數形式 :
所以如果我們跟乙個複數相乘，那麼所做的矩陣變換是：
這個矩陣
展開代入得:
也就是：
這是旋轉變換與縮放變換的復合，所以如果將任何複數c與z相乘都是將c逆時針旋轉
度，並將其縮放
倍.如果
，那麼複數可以用乙個單位向量表示，同時這個乘法只做旋轉變換。
所以平面上的旋轉可以有矩陣形式：
利用複數的代數形式：
繼續利用其指數形式：
這個指數形式可以很直觀的來看先繞
旋轉，再繞
旋轉，因為可以直接寫成
可以看到平面上的旋轉可以跟複數很好的結合起來，這為我們之後引入四元數以及三維空間中的旋轉打下基礎。
參考：
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