在三維空間中，旋轉變換是最基本的變換型別之一，有多種描述方式，如euler角、旋轉矩陣、旋轉軸/旋轉角度、四元數等。本文將介紹各種描述方式以及它們之間的轉換。
1. 旋轉矩陣
用乙個3階正交矩陣來表示旋轉變換，是一種最常用的表示方法。容易證明，3階正交陣的自由度為3。注意，它的行列式必須等於1，當等於-1的時候相當於還做了乙個映象變換。
2. euler角
根據euler定理，在三維空間中，任意一種旋轉變換都可以歸結為若干個沿著座標軸旋轉的組合，組合的個數不超過三個並且兩個相鄰的旋轉必須沿著不同的座標軸。因此，可以用三個沿著座標軸旋轉的角度來表示乙個變換，稱為euler角。旋轉變換是不可交換的，根據旋轉順序的不同，有12種表示方式，分別為：xyz、xzy、xyx、xzx、yxz、yzx、yxy、yzy、zxy、zyx、zxz、zyz，可以自由選擇其中的一種。對於同乙個變換，旋轉順序不同，euler角也不同，在指定euler角時應當首先約定旋轉順序。
2.1 euler角 轉化為 旋轉矩陣
不妨設先繞z軸旋轉γ，再繞y軸旋轉β，最後繞x軸旋轉α，即旋轉順序為xyz，旋轉矩陣
3. 旋轉軸/旋轉角度
用旋轉軸的方向向量n和旋轉角度θ來表示乙個旋轉，其中
θ>0表示逆時針旋轉。
3.1 旋轉軸/旋轉角度 轉化為 旋轉矩陣
設v是任意乙個向量，定義
如下圖所示
這樣，我們建立了乙個直角座標系
設u為v繞軸旋轉後得到的向量，則有
r即為旋轉矩陣。進一步可表示為
4. 單位四元數(unit quaternions)
四元數由hamilton於2023年提出，實際上是在四維向量集合上定義了通常的向量加法和新的乘法運算，從而形成了乙個環。
q稱為單位四元數，如果||q||=1。乙個單位四元數可以表示三維旋轉。用單位四元數表示旋轉可以保持乙個光滑移動的相機的軌跡，適合動畫生成。
4.1 旋轉軸/旋轉角度 轉化為 單位四元數
根據旋轉軸n和旋轉角度θ，得到單位四元數q
4.2 單位四元數 轉化為 旋轉軸/旋轉角度
4.3 單位四元數 轉化為 旋轉矩陣
4.4 四元數的性質
定義四元數的逆、乘法和除法，如下所示
根據該性質，我們可以對兩個旋轉變換q1和q2作線性插值，這相當於在四維空間中的超球面上對點q1和q2作球面線性插值。
也可以按下面的方法計算
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