矩陣範數卻不存在公認唯一的度量方式
01向量的範數
設||·||是向量空間上的實值函式，且滿足條件
1、非負性：對任何向量x，||x||>=0，且||x||=0當且僅當x=0
2、齊次性：對任何向量x和實數a，||ax||=|a|*||x||
3、三角不等式：對任何向量x、y ，滿足||x+y|| <= ||x|| + ||y||
則稱||·||為n維向量空間的範數，||x||為向量x的範數
常用範數
記x = (x1,x2,…,xn)，常用的向量範數有：
1、向量的1-範數：||x|| = |x1| + |x2| + … + |xn|
2、向量的2-範數：||x|| = sqrt( x1^2 + x2^2 + … + xn^2 )
3、向量的無窮範數：||x|| = max|xi|
範數等價與向量收斂
對於n維向量空間的任何兩種範數 ||·||a ||·||b ，存在正常數m,m，使得
m*||·||a <= ||·|| <= m*||·||b
對於向量序列，如果滿足
lim ||xk – x || = 0 ，則稱向量序列收斂到向量x，記作xk—>x0
2矩陣的範數
若||·||滿足如下條件
1、非負性：對任何矩陣a，||a||>=0，且||a||=0當且僅當a=0
2、齊次性：對任何矩陣a和實數a，||aa||=|a|*||a||
3、三角不等式：對任何矩陣a、b ，滿足||a+b|| <= ||a|| + ||b||
4、三角不等式：對任何矩陣a、b ，滿足||ab|| <= ||a||*||b||
常用矩陣範數
矩陣的1-範數：║a║1 = max (列和範數，a每一列元素絕對值之和的最大值) (其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其餘類似)
矩陣的2-範數：║a║2 = a的最大特徵值開方 = ( max ) ^ (歐幾里德範數,譜範數,即a^h*a特徵值λi中最大者λ1的平方根，其中a^h為a的轉置共軛矩陣)
矩陣的無窮範數：║a║∞ = max (行和範數，a每一行元素絕對值之和的最大值) (其中為∑|a1j| 第一行元素絕對值的和，其餘類似)
矩陣的f範數：||a||f = sqrt(σaij^2)0
3譜半徑
定義：a是n階方陣，λi是其特徵值，i=1,2,…,n。則稱特徵值的絕對值的最大值為a的譜半徑，記為ρ(a)。 注意要將譜半徑與譜範數(2-範數)區別開來，譜範數是指a的最大奇異值，即a^h*a最大特徵值的算術平方根。譜半徑是矩陣的函式，但不是矩陣範數。
定理：譜半徑不大於矩陣範數，即ρ(a)≤║a║。
因為任一特徵對λ,x,ax=λx，可得ax=λx。兩邊取範數並利用相容性即得結果。
定理2：對於任何方陣a以及任意正數e，存在一種矩陣範數使得║a║
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