一.矩陣鏈事例
矩陣鏈問題主要涉及的時在多個矩陣相乘，如何通過相乘的順序來減少程式執行。
二.例題分析
這次分析過程按照動態規劃的三個基本條件來逐步解答：
1、尋找最優子結構：假設我們已經找到父矩陣鏈最優解，當我們劃分到最後一步時都是兩個子矩陣鏈（分別被括號包圍）相乘，如（a1a2a3a4）（a5a6a7），此時顯然外括號為父矩陣的最優括號劃分。繼續往下劃分，（（a1a2a3）a4）（a5（a6a7）），則兩個子矩陣鏈的劃分括號必須也為他們本身的最優括號劃分。因為如果子矩陣鏈的劃分括號不是他們本身的最優括號劃分時，兩個子矩陣鏈就有另一種最優括號劃分，如（a1（a2a3a4））（a5（a6a7））。那麼就與我們的假設相悖。（（a1a2a3）a4）（a5（a6a7））不是我們父矩陣最優解。所以擁有最優劃分的父矩陣的子矩陣鏈顯然也擁有最優劃分。
2、子問題重疊：看到步驟一是不是感覺這個問題可以使用遞迴來解決？顯然可以。演算法導論給出如下遞迴公式：
但是我們發現遞迴公式中會有很多重複計算的子結構。由於k是未知，所以我們需要迴圈來找出最小的，但是，當k=i…..j時k每對應乙個值就得繼續往下遞迴，此時又得迴圈一遍k，在其中就會有許多子問題重複計算了。比如我們有這兩個括號劃分：
（a1（a2a3a4））（a5（a6a7））和（a1（a2a3a4））（（a5a6）a7），此時前面子鏈括號劃分是相同的而後面子鏈劃分不同。如果我們使用15.12進行遞迴就會重複計算（a1（a2a3a4））。這正是動態規劃解決的問題。
3、自底向上方法：我們前面使用的迴圈使用的是自上向下的方法。而動態規劃使用的是自底向上的方法。也就是從最初向最後推理。如果我們簡單的一直劃分而不做比較的話，我們會發現劃分的分支越來越多。而動態規劃不同，它是在劃分中把一些明顯代價大的，可以比較的pk掉。從而減少分析次數，而且自底向上還避免了子問題的重複計算。而想要從底部開始就要求我們每次的劃分都是最優劃分，從而被下一次劃分最優劃分包含在所有下一次劃分方法之內，這也是我們為什麼首先要證明步驟一。
三.例題計算過程
有上述矩陣：
第一次：我們從最初開始劃分，也就是劃分兩個子矩陣，首先列出所有情況。
a1a2 30*35*15=15750
a2a3 35*15*5=2625
a3a4 15*5*10=750
a4a5 5*10*20=1000
a5a6 10*20*25=5000
由於我們不知道最優劃分方法使用了那些上述劃分，所以我們不能進行pk
第二次：劃分三個子矩陣
a1a2a3：此時注意a1a2a3有兩種子結構劃分，由於不管使用哪種子結構，劃分後都歸類到a1a2a3，也就是說a1a2a3無論有多少子結構，無論如何劃分，劃分後他都成為（a1a2a3）這乙個整體。因此此時我們可以進行pk。（a1（a2a3））2625+30*35*5=7875或（（a1a2）a3）15750+30*15*5=18000，顯然選擇7875
a2a3a4：2625+35*5*10=4375或750+35*15*10=6000，顯然選擇4375
a3a4a5：750+15*10*20=3750或1000+15*5*20=2500，顯然選擇2500
a4a5a6：1000+5*20*25=3500或5000+5*10*25=6250，顯然選擇3500
第三次：劃分四個子矩陣
a1a2a3a4：（a1a2a3）a4：7875+30*5*10=9375或a1（a2a3a4）：2500+35*10*30=13000或者（a1a2）（a3a4）：15750+750+30*15*10=21000顯然選擇9375
a2a3a4a5：（a2a3a4）a5：4375+35*10*20=11375或者a2（a3a4a5）：2500+15*20*35=13000或（a2a3）（a4a5）：2625+1000+35*5*20=7125顯然選擇7125
a3a4a5a6：（a3a4a5）a6：2500+15*20*25=10000或者a3（a4a5a6）：3500+5*25*15=5375或（a3a4）（a5a6）：750+5000+15*10*25=9500顯然選擇5375
第四次：劃分五個子矩陣
同理得a1a2a3a4a5：11875和a2a3a4a5a6：10500
第五次：最後對整個矩陣鏈進行劃分。
a1（a2a3a4a5a6）：30*35*25+18500=44750
（a1a2）（a3a4a5a6）：157580+5375+30*5*25=32375
（a1a2a3）（a4a5a6）：7875+3500+30*5*25=15125
（a1a2a3a4）（a5a6）：9375+5000+30*10*25=21875
（a1a2a3a4a5）a6：15375+30*20*25=30375
綜上：最後選擇15125.知道整個矩陣鏈的分配，我們就知道接下來的分配，因為我們使用的子矩陣鏈都是最優子結構，只需要往前找就行。最後分配：（a1（a2a3））（（a4a5）a6）。我們觀察第五次分配可以發現：最後一次矩陣相乘增加的代價分別為30*35*25，30*5*25，30*5*25，30*10*25，30*20*25。發現兩邊都是30,25.而中間在變化也就是先前k值得變化，中間值為5時比較小，而且按照子最優解必定屬於父最優解，那麼是不是我們一直按照最小中間值劃分，就能找到最優方法呢？
四.與裝配線排程對比
裝配線問題要比矩陣鏈問題簡單，但是其實我們可以將其對比，發現二者問題是相同的。根據矩陣鏈的遞迴公式我們發現其實n矩陣鏈的問題從上往下劃分時其實其問題出口有n-1個，也就是k=j-i=n-1個。所以我們在《例題計算過程》中在第五次劃分時有5個出口（算了5次），這個和裝配線最終出口只有兩個類似。
裝配線問題簡單在在考慮j裝配站問題時，我們只需要考慮j-1站問題就行了，因為不管怎樣考慮j-1站完成後就必須考慮j站，這是由於底盤加工流程決定的，你必須加工完成j-1後才能加工j。而矩陣鏈不同，矩陣鏈n劃分時我們不僅有可能考慮n-1問題，還有可能包含n-2，n-3的問題。比如對其劃分（a1a2a3a4）（a5a6），此時考慮的就是6-2，6-4兩個子結構，這在裝配線中是不能出現的。
五.**
六.類似問題
原文：動態規劃之矩陣鏈乘法理解 - 心之所向 - csdn部落格
矩陣連乘（動態規劃）
題目描述 給定n個矩陣 a1,a2,an 其中ai與ai 1是可乘的，i 1,2 n 1。如何確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。例如 a1 a2 a3 a4 a5 a6 最後的結果為 a1 a2a3 a4a5 a6 最小的乘次為15125。思路 動態規劃演算...
動態規劃 矩陣連乘
includeusing namespace std 無論括號怎麼分這些連續相乘的矩陣，最後括號都可以歸結到只有兩對括號，把整個連乘的矩陣分成兩部分 0 i j m i j min i 遞迴計算矩陣連乘 int liancheng int i,int j,int p,int s return min...
動態規劃 矩陣連乘
動態規劃常常用來解決，具有最優子結構，重疊子問題的物件。最優子結構 即通過分析問題，將問題分解為多個子問題。然後每個子問題繼續分解為更多子問題。從底往上求出最有值,由最優值確定最優解。重疊子問題 在計算過程中不同子問題可能都會計算某個值。若每個子問題都去求解同乙個值,浪費時間。動態規規劃對每乙個子問...