複雜網路理論及其應用基本概念

二、基本概念

總結部分摘自汪小帆《複雜網路理論及其應用》

1 8世紀初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯絡起來。有個人提出乙個問題：乙個步行者怎樣才能不重複、不遺漏地一次走完七座橋，最後回到出發點。後來大數學家尤拉把它轉化成乙個幾何問題——一筆畫問題。他不僅解決了此問題，且給出了連通圖可以一筆畫的充要條件是：奇點的數目不是0 個就是2 個（連到一點的數目如是奇數條，就稱為奇點，如果是偶數條就稱為偶點，要想一筆畫成，必須中間點均是偶點，也就是有來路必有另一條去路，奇點只可能在兩端，因此任何圖能一筆畫成，奇點要麼沒有要麼在兩端）

七橋所成之圖形中，沒有一點含有偶數條數，因此上述的任務無法完成。

隨機圖(random graph)是一類重要的圖。它是伴隨有不確定性的圖.按某種隨機方式刪去乙個圖g的某些節點或邊而保留下來的圖稱為隨機子圖，又稱隨機圖。

在er隨即圖中，任意兩個節點之間有一條邊相連線的概率是p

例：六度分離理論

1.3.1 milgram的小世界實驗

1.3.2 kevin bacon遊戲

kevin bacon六度理論是「六度分離」的乙個變化形式，這一理論認為世界上任何人都可以通過之多六個人與任何人獲得聯絡，這隨後演變成為乙個小遊戲，通過考驗電影發燒友如何將任何乙個演員與好萊塢老將kevin bacon進行連線，以體現他們的發燒程度。

複雜網路新紀元開始的標誌是以下兩個**

推薦**；

（1）watts and strogatz 《「小世界」網路的集體動力學》

（2） barabási*, réka albert《隨機網路中標度的湧現》

網路的平均路徑長度l定義為任意兩個節點之間的距離的平均值，即

n為網路節點數，d為兩點間的距離

上式是網路的平均路徑長度，其中包括了節點到自身的路徑（這個路徑始終為0）。如果不算到自身的情況，則分母下應該是n(n-1)/2。

這個n(n+1)/2也很好解釋。用迴圈的形式表示如下：

**如下（示例）：

for
(i=1
;i<=n;i++
)}

內層迴圈的執行次數為n+n-1+n-2+…+1 = n(n+1)/2。

聚類定義：在你的朋友關係網路中，你的兩個朋友很可能彼此也是朋友，這種屬性稱為網路的聚類特性

聚係數（也稱群聚係數、集群係數）：用來描述乙個圖中的頂點之間結集成團的程度的係數。具體來說，是乙個點的鄰接點之間相互連線的程度。

整體集聚係數的定義建立在閉三點組（鄰近三點組）之上。假設圖中有一部分點是兩兩相連的，那麼可以找出很多個「三角形」，其對應的三點兩兩相連，稱為閉三點組。除此以外還有開三點組，也就是之間連有兩條邊的三點（缺一條邊的三角形）。這兩種三點組構成了所有的連通三點組。整體集聚係數定義為乙個圖中所有閉三點組的數量與所有連通三點組（無論開還是閉）的總量之比（也有定義為這個值的三倍，使得在完全圖中的整體集聚係數等於1）。

假設網路中乙個節點 i 有 ki 條邊將它和其它節點相連，這 ki 個節點成為i的鄰居，顯然在這ki個節點中最多可能有 ki ( ki - 1 ) / 2條邊。而這ki個節點之間實際存在的邊數 ei 和總的可能邊數 ki ( ki - 1 ) / 2 之比就定義為節點 i 的聚類係數

從幾何上看上式等價為

其中與節點i相連的三元組是指包括節點 i 的三個節點，並且至少存在從節點 i 到其它節點的兩條邊

聚類係數是描述小世界網路的重要引數，聚類係數大、平均路徑短的網路被稱之為小世界網路。

以上就是今天要講的內容，本文僅僅簡單介紹了複雜網路的一些基本概念。

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