對於給定矩陣a，尋找乙個常數λ和非零向量x，使得向量x被矩陣a作用後 所得的向量ax與原向量x平行，並且滿足ax=λx矩陣乘法對應了乙個變換，是把任意乙個向量變成另乙個方向或長度都大多不同的新向量。在這個變換過程中，原向量主要發生旋轉、伸縮的變化。如果矩陣對某乙個向量只發生伸縮變換，不對這些向量產生旋轉的效果，那麼這些向量就稱為這個矩陣的特徵向量，伸縮的比例就是特徵值。
任給矩陣a，並不是對所有的向量x它都能拉長（縮短）。凡是能被矩陣a拉長（縮短）的向量就稱為矩陣a的特徵向量；拉長（縮短）的量就是這個特徵向量對應的特徵值。
乙個矩陣可能拉長多個向量，因此它就可能有多個特徵值。
實對稱矩陣，不同特徵值對應的特徵向量必定正交。
乙個變換可由乙個矩陣乘法表示，那麼乙個空間座標系也可視作乙個矩陣，而這個座標系就可由這個矩陣的所有特徵向量表示，用圖來表示的話，可以想象就是乙個空間張開的各個座標角度，這一組向量可以完全表示乙個矩陣表示的空間的「特徵」，而他們的特徵值就表示了各個角度上的能量（可以想象成從各個角度上伸出的長短，越長的軸就越可以代表這個空間，它的「特徵」就越強，或者說顯性，而短軸自然就成了隱性特徵），因此，通過特徵向量/值可以完全描述某一幾何空間這一特點，使得特徵向量與特徵值在幾何（特別是空間幾何）及其應用中得以發揮。也就是說，求特徵向量，就是把矩陣a所代表的空間進行正交分解，使得a的向量集合可以表示為每個向量a在各個特徵向量上的投影長度。我們通常求特徵值和特徵向量即為求出這個矩陣能使哪些向量只發生拉伸，而方向不發生變化，觀察其發生拉伸的程度。這樣做的意義在於，看清乙個矩陣在哪些方面能產生最大的分散度（scatter），減少重疊，意味著更多的資訊被保留下來
數學知識點查漏補缺（特徵值與特徵向量）
設a為n階矩陣，若存在常數 及n維非零向量x，使得ax x，則稱 是矩陣a的特徵值，x是a屬於特徵值 的特徵向量。根據定義可改寫為關係式 為單位矩陣 其形式為主對角線元素為 其餘元素乘以 1 要求向量 具有非零解，即求齊次線性方程組 有非零解的值 即要求行列式 解次行列式獲得的 值即為矩陣a的特徵值...
特徵值 特徵向量
最近在學lsc，想蒐集一些特徵值和特徵向量的知識 1 特徵值和特徵向量 矩陣的基 定義 乙個m n的矩陣可以看成是n個列向量組成，這n個列向量的線性組合構成乙個列空間，而通常這n個列向量不是線性無關的，那麼求出這n個列向量中不相關的r個，可以稱這r列為矩陣列空間的基。基上投影的計算 要準確描述向量，...
特徵向量與特徵值
在看線性代數這一部分的時候，真是一頭霧水。雖然明白了特徵值和特徵向量的求法，但總覺得沒有用。在 理解矩陣 一文中，雖然提到了這與矩陣的本質有關，但並未詳細提及，但我知道了一定具有一定的幾何意義。後來，檢視了 特徵向量的幾何意義 一文，才明白了。特別是wikipedia中關於 特徵向量 的文章，終於對...