矩陣與向量的乘法可以理解為變換+投影，變換分為旋轉變換與伸縮變換，投影可以是低維向高維的投影，也可以是高維向低維的投影。因此，方陣與向量的乘法只有變換操作，乙個行數大於列數的矩陣與向量的乘法包含了變換以及維度的提高，乙個行數小於列數的矩陣與向量的乘法則是維數的降低。
方陣的矩陣乘法對應了一種變換，將乙個向量變成另乙個向量，新向量的方向、大小往往是與舊向量是不同的。在變換的過程中，又可以分為旋轉變換與伸縮變換，而當乙個矩陣對某些向量只發生伸縮變換時（變換後的向量與原向量平行），這些向量便是這個矩陣的特徵向量，伸縮的比例便是特徵值。由於要求只對向量發生伸縮變換（隱式地說明沒有投影變換），因此只有方陣才擁有特徵向量這個性質便很好理解。這樣做的意義在於，看清乙個矩陣在那些方面能產生最大的效果（power），並根據所產生的每個特徵向量（一般研究特徵值最大的那幾個）進行分類討論與研究。
特徵向量和特徵值有哪些具體用途？
影象處理中的pca方法，選取特徵值最高的k個特徵向量來表示乙個矩陣，從而達到降維分析+特徵顯示的方法，還有影象壓縮的k-l變換。再比如很多人臉識別，資料流模式挖掘分析等方面。在力學中，慣量的特徵向量定義了剛體的主軸。慣量是決定剛體圍繞質心轉動的關鍵資料。
在譜系圖論中，乙個圖的特徵值定義為圖的鄰接矩陣a的特徵值，或者（更多的是）圖的拉普拉斯運算元矩陣， google的pagerank演算法就是乙個例子。
在量子力學中，特別是在原子物理和分子物理中，在hartree-fock理論下，原子軌道和分子軌道可以定義為fock運算元的特徵向量。相應的特徵值通過koopmans定理可以解釋為電離勢能。在這個情況下，特徵向量一詞可以用於更廣泛的意義，因為fock運算元顯式地依賴於軌道和它們地特徵值。
特徵向量與特徵值
在看線性代數這一部分的時候，真是一頭霧水。雖然明白了特徵值和特徵向量的求法，但總覺得沒有用。在 理解矩陣 一文中，雖然提到了這與矩陣的本質有關，但並未詳細提及，但我知道了一定具有一定的幾何意義。後來，檢視了 特徵向量的幾何意義 一文，才明白了。特別是wikipedia中關於 特徵向量 的文章，終於對...
特徵值與特徵向量
我們知道，矩陣乘法對應了乙個變換，是把任意乙個向量變成另乙個方向或長度都大多不同的新向量。在這個變換的過程中，原向量主要發生旋轉 伸縮的變化。如果矩陣對某乙個向量或某些向量只發生伸縮變換，不對這些向量產生旋轉的效果，那麼這些向量就稱為這個矩陣的特徵向量，伸縮的比例就是特徵值。實際上，上述的一段話既講...
特徵值與特徵向量
對於乙個給定的 線性變換 它的特徵向量 本徵向量或稱正規正交向量 v經過這個線性變換 1 之後，得到的新向量仍然與原來的 v 保持在同一條直線上，但其長度 也許會改變。乙個特徵向量的長度在該線性變換下縮放的比例稱為其特徵值 本徵值 圖1給出了乙個以著名油畫 蒙娜麗莎 為題材的例子。在一定條件下 如其...