在看線性代數這一部分的時候，真是一頭霧水。雖然明白了特徵值和特徵向量的求法，但總覺得沒有用。在《理解矩陣》一文中，雖然提到了這與矩陣的本質有關，但並未詳細提及，但我知道了一定具有一定的幾何意義。
後來，檢視了《特徵向量的幾何意義》一文，才明白了。特別是wikipedia中關於《特徵向量》的文章，終於對特徵向量有了一點認識。因為l
是常數，所以lx與x的方向相同。即，乙個變換的特徵向量是這樣一種向量，它經過這種特定的變換後保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已。
下圖是從wikipedia的《特徵向量》一文中引用的。通過這個圖可以對變與不變有乙個進一步的了解。
圖1. 在這個
錯切變換中，
蒙娜麗莎的影象被變形，但是中心的縱軸在變換下保持不變。（注意：角落在右邊的影象中被裁掉了。）藍色的向量，從胸部到肩膀，其方向改變了，但是紅色的向量，從胸部到下巴，其方向不變。因此紅色向量是該變換的乙個特徵向量，而藍色的不是。因為紅色向量既沒有被拉伸又沒有被壓縮，其特徵值為1。所有沿著垂直線的向量也都是特徵向量，它們的特徵值相等。它們構成這個特徵值的特徵空間。
在wikipedia的《特徵向量》一文中還提到了乙個地球旋轉的例子，旋轉本身是一種線性變化，出來在旋轉軸上的向量之外，所有從地心指向地表的向量的方向都變了。在旋轉軸上的向量的向量就是這個線性變化的特徵向量。
說到這我想很多人應該明白了，矩陣是一種線性變化，特徵向量就是在這個變化當中不變的向量。說白了就是在變化當中尋找不變的東西。這不就是很多學科研究的內容嗎？
特徵值與特徵向量
我們知道，矩陣乘法對應了乙個變換，是把任意乙個向量變成另乙個方向或長度都大多不同的新向量。在這個變換的過程中，原向量主要發生旋轉 伸縮的變化。如果矩陣對某乙個向量或某些向量只發生伸縮變換，不對這些向量產生旋轉的效果，那麼這些向量就稱為這個矩陣的特徵向量，伸縮的比例就是特徵值。實際上，上述的一段話既講...
特徵值與特徵向量
矩陣與向量的乘法可以理解為變換 投影，變換分為旋轉變換與伸縮變換，投影可以是低維向高維的投影，也可以是高維向低維的投影。因此，方陣與向量的乘法只有變換操作，乙個行數大於列數的矩陣與向量的乘法包含了變換以及維度的提高，乙個行數小於列數的矩陣與向量的乘法則是維數的降低。方陣的矩陣乘法對應了一種變換，將乙...
特徵值與特徵向量
對於乙個給定的 線性變換 它的特徵向量 本徵向量或稱正規正交向量 v經過這個線性變換 1 之後，得到的新向量仍然與原來的 v 保持在同一條直線上，但其長度 也許會改變。乙個特徵向量的長度在該線性變換下縮放的比例稱為其特徵值 本徵值 圖1給出了乙個以著名油畫 蒙娜麗莎 為題材的例子。在一定條件下 如其...